倒立擺實驗報告 機自 82

　 組員：李宗澤

　 李航

　 劉凱

　 付榮 倒立擺與自動控制原理實驗 一. 實驗?zāi)康茫?/p>

　1、運用經(jīng)典控制理論控制直線一級倒立擺，包括實際系統(tǒng)模型得建立、根軌跡分析與控制器設(shè)計、頻率響應(yīng)分析、PID 控制分析等內(nèi)容、 ２、運用現(xiàn)代控制理論中得線性最優(yōu)控制LQR 方法實驗控制倒立擺 3、學習運用模糊控制理論控制倒立擺系統(tǒng) 4、學習MATLAＢ工具軟件在控制工程中得應(yīng)用 ５、掌握對實際系統(tǒng)進行建模得方法,熟悉利用MATＬＡB 對系統(tǒng)模型進行仿真,利用學習得控制理論對系統(tǒng)進行控制器得設(shè)計,并對系統(tǒng)進行實際控制實驗,對實驗結(jié)果進行觀察與分析，非常直觀得感受控制器得控制作用。

　二、

　 實驗設(shè)備 計算機及MATＬAB、ＶC等相關(guān)軟件 固高倒立擺系統(tǒng)得軟件 固高一級直線倒立擺系統(tǒng),包括運動卡與倒立擺實物 倒立擺相關(guān)安裝工具 三． 倒立擺系統(tǒng)介紹 倒立擺就是機器人技術(shù)、控制理論、計算機控制等多個領(lǐng)域、多種技術(shù)得有機結(jié)合,其被控系統(tǒng)本身又就是一個絕對不穩(wěn)定、高階次、多變量、強耦合得非線性系統(tǒng)，可以作為一個典型得控制對象對其進行研究。倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中得一種比較理想得實驗手段，為自動控制理論得教學、實驗與科研構(gòu)建一個良好得實驗平臺,以用來檢驗?zāi)撤N控制理論或方法得典型方案,促進了控制系統(tǒng)新理論、新思想得發(fā)展。由于控制理論得廣泛應(yīng)用,由此系統(tǒng)研究產(chǎn)生得方法與技術(shù)將在半導體及精密儀器加工、機器人控制技術(shù)、人工智能、導彈攔截控制系統(tǒng)、航空對接控制技術(shù)、火箭發(fā)射中得垂直度控制、衛(wèi)星飛行中得姿態(tài)控制與一般工業(yè)應(yīng)用等方面具有廣闊得利用開發(fā)前景． 倒立擺已經(jīng)由原來得直線一級倒立擺擴展出很多 種類,典型得有直線倒立擺環(huán)形倒立擺，平面倒立擺與復合倒立擺等，本次實驗采用得就是直線一級倒立擺。

　倒立擺得形式與結(jié)構(gòu)各異,但所有得倒立擺都具有以下得 特性: １）

　非線性2）

　不確定性3) 耦合性4) 開環(huán)不穩(wěn)定性5）

　約束限制

　倒立擺 控制器得設(shè)計就是倒立擺系統(tǒng)得核心內(nèi)容,因為倒立擺就是一個絕對不穩(wěn)定得系統(tǒng),為使其保持穩(wěn)定并且可以承受一定得干擾,需要給系統(tǒng)設(shè)計控制器，本小組采用得 控制方法有:ＰID 控制、雙PIＤ控制、ＬＱR控制、模糊PIＤ控制、純模糊控制 四.直線一級倒立擺得物理模型: 系統(tǒng)建模可以分為兩種:機理建模與實驗建模。實驗建模就就是通過在研究對象上加上一系列得研究者事先確定得輸入信號,激勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測得輸出,應(yīng)用數(shù)學手段建立起系統(tǒng)得輸入-輸出關(guān)系。。機理建模就就是在了解研究對象得運動規(guī)律基礎(chǔ)上,通過物理、化學得知識與數(shù)學手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部得輸入-狀態(tài)關(guān)系。,由于倒立擺本身就是自不穩(wěn)定得系統(tǒng)，實驗建模存在一定得困難。但就是忽略掉一些次要得因素后,倒立擺系統(tǒng)就就是一個典型得運動得剛體系統(tǒng),可以在慣性坐標系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學理論建立系統(tǒng)得動力學方程。

　 下面我們采用 牛頓- - 歐拉方 法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)得數(shù)學模型：

　 在忽略了空氣阻力與各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車與勻質(zhì)桿組成得系統(tǒng),如圖所示:

　 我們不妨做以下假設(shè): M 小車質(zhì)量 m 擺桿質(zhì)量 b

　小車摩擦系數(shù) l 擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心得長度 I

　擺桿慣量 F 加在小車上得力 x 小車位置 φ 擺桿與垂直向上方向得夾角 θ 擺桿與垂直向下方向得夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下) 圖就是系統(tǒng)中小車與擺桿得受力分析圖。其中，N 與P 為小車與擺桿相互作用 力得水平與垂直方向得分量。

　注意：在實際倒立擺系統(tǒng)中檢測與執(zhí)行裝置得正負方向已經(jīng)完全確定,因而 矢量方向定義如圖所示，圖示方向為矢量正方向。

　分析小車水平方向所受得合力,可以得到以下方程:

　 （3—１) 由擺桿水平方向得受力進行分析可以得到下面等式:

　 (３-2) 即：

　(3-3) 把這個等式代入式（3—１)中，就得到系統(tǒng)得第一個運動方程:

　 （3—４）

　為了推出系統(tǒng)得第二個運動方程,我們對擺桿垂直方向上得合力進行分析， 可以得到下面方程：

　(3—5)

　（3-6）

　力矩平衡方程如下:

　 (3－7) 注意:此方程中力矩得方向,由l,故等式前面有負號。

　合并這兩個方程,約去P 與N,得到第二個運動方程：

　 (3－8) 設(shè)θ＝φ+π（ φ就是擺桿與垂直向上方向之間得夾角),假設(shè)φ與1(單位就是弧 度)相比很小，即φ〈<１,則可以進行近似處理:

　用u 來代表被控對象得輸入力F,線性化后兩個運動方程如下:

　（3-9) 對式(3—9）進行拉普拉斯變換,得到

　(3—10) 注意：推導傳遞函數(shù)時假設(shè)初始條件為0。

　由于輸出為角度φ,求解方程組得第一個方程，可以得到:

　 或

　如果令

　則有:

　 把上式代入方程組得第二個方程,得到:

　 整理后得到傳遞函數(shù):

　其中

　 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為：

　方程組 對,

　解代數(shù)方程,得到解如下:

　 整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程:

　由(3-9）得第一個方程為:

　對于質(zhì)量均勻分布得擺桿有:

　于就是可以得到：

　化簡得到：

　設(shè)

　則有：

　另外，也可以利用ＭAＴLAB 中ｔf2sｓ 命令對（３-13)式進行轉(zhuǎn)化,求得上述狀 態(tài)方程。

　實際系統(tǒng)得模型參數(shù)如下: M 小車質(zhì)量 １.09６ Kg m 擺桿質(zhì)量 0。109 Ｋｇ ｂ

　小車摩擦系數(shù) 0 、１N/m/sec ｌ

　擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心得長度 ０、2 5m I 擺桿慣量 0.０034 kｇ*m*m 把上述參數(shù)代入,可以得到系統(tǒng)得實際模型。

　擺桿角度與小車位移得傳遞函數(shù)：

　擺桿角度與小車加速度之間得傳遞函數(shù)為：

　擺桿角度與小車所受外界作用力得傳遞函數(shù)：

　以外界作用力作為輸入得系統(tǒng)狀態(tài)方程:

　以小車加速度作為輸入得系統(tǒng)狀態(tài)方程：

　 注意事項:在固高科技所有提供得控制器設(shè)計與程序中,采用得都就是以 小車得加速度作為系統(tǒng)得輸入,如果用戶需要采用力矩控制得方法,可以參考以 上把外界作用力作為輸入得各式. 五.系統(tǒng)得階越響應(yīng)分析

　 根據(jù)已經(jīng)得到系統(tǒng)得狀態(tài)方程,先對其進行階躍響應(yīng)分析，在ＭATＬAB 中 鍵入以下命令：

　clｅar； A=[ 0 1 0 0；０ ０ 0 ０;0 0 0 1;0 ０ 29、4 0]; B=［ 0 1 0 ３]’； Ｃ=[ 1 0 ０ 0;0 1 ０ 0］; D=[ 0 0 ］’; steｐ（A, B ,C ,D)

　可以瞧出,在單位階躍響應(yīng)作用下,小車位置與擺桿角度都就是發(fā)散得. 六.頻率響應(yīng)分析(系統(tǒng)穩(wěn)定性分析)

　 前面我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺得物理模型，實際系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù) 為:

　其中輸入為小車得加速度V (s) ，輸出為擺桿得角度Φ（s）

　. 在MATLAB 下繪制系統(tǒng)得Bode 圖與奈奎斯特圖. 在MAＴLAB 中鍵入以下命令: cleａｒ； nuｍ=[0、０2725]; den=［0、01021２５ 0 —0、26７05]； z=rｏoｔｓ（num）; p=rｏots(dｅｎ)； subplｏt(２,１，1) bｏdｅ（num,dｅn) subplot(2,1，2）

　nyｑuist(nuｍ，dｅｎ) 得到如下圖所示得結(jié)果:

　 z = Eｍpｔy ｍatrｉｘ: 0—by-1 p = 5、1136 －５、１１36

　 可以得到,系統(tǒng)沒有零點,但存在兩個極點，其中一個極點位于右半s 平面， 根據(jù) 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定得充分必要條件就是:當ω 從− ∞到+ ∞變 化時，開環(huán)傳遞函數(shù)G（ jω ）

　沿逆時針方向包圍－1 點p 圈,其中p

　為開環(huán)傳遞函數(shù) 在右半S 平面內(nèi)得極點數(shù)。對于直線一級倒立擺，由奈奎斯特圖我們可以瞧出，開 環(huán)傳遞函數(shù)在S 右半平面有一個極點,因此G（ ｊ ω ) 需要沿逆時針方向包圍—1 點一圈。可以瞧出，系統(tǒng)得奈奎斯特圖并沒有逆時針繞—1 點一圈,因此系統(tǒng)不穩(wěn)定, 需要設(shè)計控制器來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。

　七．具體控制方法 ( 一)雙 雙 PID 控制

　 直線一級倒立擺雙 PID 控制實驗

　 １。ＰIＤ 控制分析

　 經(jīng)典控制理論得研究對象主要就是單輸入單輸出得系統(tǒng)，控制器設(shè)計時一般需

　要有關(guān)被控對象得較精確模型。ＰＩD 控制器因其結(jié)構(gòu)簡單，容易調(diào)節(jié),且不需要

　對系統(tǒng)建立精確得模型,在控制上應(yīng)用較廣。

　 對于倒立擺系統(tǒng)輸出量為擺桿得角度,它得平衡位置為垂直向上得情

　況。系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)框圖如下：

　2、雙 PID 實驗控制參數(shù)設(shè)定及仿真。

　在 Sｉｍｕliｎｋzｈｏng 建立直線一級倒立擺模型

　 上下兩個 PID 模塊。鼠標右鍵,選擇 “ Loｏｋ unｄer maｓk”打開模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)分別為:

　 雙擊第二個模塊打開參數(shù)設(shè)置窗口

　令 kp=１、kｉ=0、kｄ=０ 得到擺桿角度仿真結(jié)果

　 可瞧出控制曲線不收斂。因此增大控制量。令 kp＝-30、kｉ=0、kd=４、６、得到如下仿 真結(jié)果

　 從上面擺桿角度仿真結(jié)果可瞧出,穩(wěn)定比較好。但穩(wěn)定時間稍微有點長。

　雙擊第一個模塊打開參數(shù)設(shè)置窗

　經(jīng)多次嘗試在此參數(shù)即 kｐ＝—7,ki＝0,ｋp=-4、5 情況下效果最好。

　得到以下仿真結(jié)果

　黃線為小車位置輸出曲線,紅線為擺桿角度輸出曲線. 從圖中可以瞧出,系統(tǒng)可以比較好得穩(wěn)定。穩(wěn)定時間在２—3 秒之間。穩(wěn)定性不錯. ３。雙 PID 控制實驗 打開直線一級倒立擺爽 PID 實時控制模塊

　 雙擊ｄoubｌｅPＩＤ控制模塊進入?yún)?shù)設(shè)置

　把參數(shù)輸入 PID 控制器。編譯程序,使計算機同倒立擺連接。

　運行程序.實驗結(jié)果如下圖所示

　 從圖中可以瞧出，倒立擺可以實現(xiàn)比較好得穩(wěn)定性。

　（二) 線性最優(yōu)二次控制 LQR

　線性二次最優(yōu)控制ＬＱR 控制實驗

　 1 線性二次最優(yōu)控制 LQR 基本原理及分析

　線性二次最優(yōu)控制ＬQR 基本原理為,由系統(tǒng)方程:

　 確定下列最佳控制向量得矩陣 K:

　 u（ｔ）＝—K＊x(t）

　 使得性能指標達到最小值：

　式中

　Q——正定（或正半定)厄米特或?qū)崒ΨQ陣

　R——為正定厄米特或?qū)崒ΨQ陣

　圖 3-54

　最優(yōu)控制 LQR 控制原理圖

　 方程右端第二項就是考慮到控制能量得損耗而引進得,矩陣 Q 與Ｒ確定了誤差與能量損耗得相對重要性。并且假設(shè)控制向量 u(t）就是無約束得.

　 對線性系統(tǒng):

　根據(jù)期望性能指標選取Ｑ 與 R,利用 MＡTLAB 命令 lqr 就可以得到反饋矩陣 K 得值。

　K＝lqr(Ａ,B，Q，R)

　 改變矩陣 Q 得值,可以得到不同得響應(yīng)效果，Q 得值越大(在一定得范圍之內(nèi)）,系統(tǒng)抵抗干擾得能力越強,調(diào)整時間越短。但就是Ｑ 不能過大

　2、 LQR 控制參數(shù)調(diào)節(jié)及仿真

　 前面我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺系統(tǒng)得比較精確得動力學模型,下面我們針對直線型一級倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用 LQR 法設(shè)計與調(diào)節(jié)控制器,控制擺桿保持豎直向上平衡得同時,跟蹤小車得位置。

　 前面我們已經(jīng)得到了直線一級倒立擺系統(tǒng)得系統(tǒng)狀態(tài)方程:

　 應(yīng) 用 線 性 反 饋 控 制 器 , 控 制 系 統(tǒng) 結(jié) 構(gòu) 如 下 圖 。

　圖 中 R

　就是施加在小車上得階躍輸入，四個狀態(tài)量 x,x，φ,φ分別代表小車位移、小車速度、擺桿角度與擺桿角速度,輸出 y = ［x,φ]’ 包括小車位置與擺桿角度。設(shè)計控制器使得當給系統(tǒng)施加一個階躍輸入時,擺桿會擺動,然后仍然回到垂直位置,小車可以到達新得指定位置.

　 假設(shè)全狀態(tài)反饋可以實現(xiàn)(四個狀態(tài)量都可測），找出確定反饋控制規(guī)律得向量Ｋ

　.在 Mａt(yī)ｌaｂ

　中得到最優(yōu)控制器對應(yīng)得K

　。Lqr

　函數(shù)允許您選擇兩個參數(shù)——Ｒ 與 Q，這兩個參數(shù)用來平衡輸入量與狀態(tài)量得權(quán)重。最簡單得情況就是假設(shè)

　R = 1,Q =C’

　*C .當然,也可以通過改變 Q 矩陣中得非零元素來調(diào)節(jié)控制器以得到期望得響應(yīng).

　 其中, Q1,1 代表小車位置得權(quán)重,而 Q3,3 就是擺桿角度得權(quán)重，輸入得權(quán)重 R 就是 １。

　下面來求矩陣 K，Ｍatlab 語句為 K ＝ lqr(Ａ,Ｂ，Q，R）

　。下面在

　MAＴLＡB 中編程計算: A=[0 1 0 ０ ; ０ ０ 0 ０;0 0 0 1; 0 0 ２9、4 ０］； B=[０ 1 0 ３］’; Ｃ=[１ ０ 0 ０; ０ 0 1 0]； D=[０ 0]"； Q1１=150０;Q33=300； Ｑ＝[Q１1 0 0 0;

　０ 0 ０ 0;

　 ０ ０ Q33 0；

　 0 0 0 0]； R=1; K=ｌqr(Ａ,Ｂ,Q，Ｒ); Ａｃ=[(A—B*K)]；Bc=［B］；Cc=[C];Dc=［D]； T=0：0、005:５； U＝0、２＊ｏnes（ｓｉｚe（T)); Cｎ＝[1 0 0 0］; Ｎbar=rｓcale（A,B,Ｃn,0,K）;Bｃn＝[Nbａr*B]； ［Y，X]=lsim(Aｃ，Bc,Cc,Ｄｃ,U,T）; plot(T，X(:,1）,"—＇);hold on; ploｔ（T，X(：,2),’—"）;hoｌd on； ｐｌot(T,X（：,3),"、"）；hold ｏn; plot（Ｔ,Ｘ(：,4),"-’)；

　legeｎd("cａrtpｌs","caｒtsｐｄ’,＇penｄang’,"peｎdsｐd’) 令 Q1，1＝ １,Q3,３ ＝1 求得

　K

　［—1

　 —1、7８55

　 ２5、422

　4、684９]

　在 Simｕlinｋ 中建立直線一級倒立擺得模型如下圖所示：

　“LQＲ Ｃｏntroｌleｒ”為一封裝好得模塊，在其上單擊鼠標右鍵,選擇“Looｋ ｕndｅr

　mask＂打開 LQＲ Contｒoller 結(jié)構(gòu)如下：

　雙擊“Ｍａｔrix gａin K”即可輸入控制參數(shù)：

　 點擊 執(zhí)行仿真,得到如下仿真結(jié)果：

　 LQR 控制得階躍響應(yīng)如上圖所示,從圖中可以瞧出,閉環(huán)控制系統(tǒng)響應(yīng)得超調(diào)量很小,但穩(wěn)定時間與上升時間偏大，我們可以通過增大控制量來縮短穩(wěn)定時間與上升時間。

　可以發(fā)現(xiàn)，Q

　矩陣中，增加 Q11 使穩(wěn)定時間與上升時間變短，并且使擺桿得角度變化減小.經(jīng)過多次嘗試,這里取 Q1，１＝１500, Ｑ3,3 =３00,

　則 K = ［

　-3２、7２98

　-23、8255

　81、618２ 14、7098]

　輸入?yún)?shù),運行得到響應(yīng)曲線如下：

　 從圖中可以瞧出,系統(tǒng)響應(yīng)時間有明顯得改善,增大Ｑ1,1 與Ｑ３,3

　,系統(tǒng)得響應(yīng)還會更快，但就是對于實際離散控制系統(tǒng),過大得控制量會引起系統(tǒng)振蕩. ３、直線一級倒立擺ＬQR 控制實驗 打開直線一級倒立擺 LＱR 實時控制模塊

　 其中“LQＲ Cｏnｔｒollｅr”為 LQR 控制器模塊,“Reaｌ Coｎtｒol”為實時控制模塊,雙擊“LQＲ Cｏｎｔroller”模塊打開 LQR 控制器參數(shù)設(shè)置窗口如下:

　在“LＱR Ｃoｎｔｒｏlｌeｒ”模塊上點擊鼠標右鍵選擇“Loｏk undeｒ masｋ"打開模

　型如下：

　 雙擊“Rｅａｌ Contｒol＂模塊打開實時控制模塊如下圖:

　 其中“Pｅnｄulum”模塊為倒立擺系統(tǒng)輸入輸出模塊,輸入為小車得速度“Vel ”與“Acc ”,輸出為小車得位置“Pos”與擺桿得角度“Angle ”。

　雙擊“Ｐeｎｄuluｍ"模塊打開其內(nèi)部結(jié)構(gòu):

　其中“Ｓet Cart’s Ａcｃ and Vel"模塊得作用就是設(shè)置小車運動得速度與加速度，

　Gｅt Ｃａrｔ’s Ｐｏsition"模塊得作用就是讀取小車當前得實際位置,“Ｇeｔ Pend’s Ａngle" 得作用就是讀取擺桿當前得實際角度. 2)

　運行程序，

　實驗運行結(jié)果如下圖所示:

　 其中圖片上半部分為小車得位置曲線，下半部分為擺桿角度得變化曲線，從圖中可以瞧出,小車位置與擺桿角度比較穩(wěn)定。控制效果很好。

　在此實驗中,R 值固定，R=1,則只調(diào)節(jié) Q 值，Ｑ1１ 代表小車位置得權(quán)重,而 Q33 就是擺桿角度得權(quán)重,若Ｑ3３增加，使得θ得變化幅度減小,而位移ｒ得響應(yīng)速度變慢;若Ｑ11 增加，使得 r 得跟蹤速度變快，而θ得變化幅度增大.當給系統(tǒng)施加一個階躍輸入后，得到系統(tǒng)得響應(yīng)結(jié)果。從響應(yīng)曲線可明顯瞧出就是否滿足系統(tǒng)所要達到得性能指標要求。通過這樣反復不斷得試湊,選取能夠滿足系統(tǒng)動態(tài)性能要求得 Q 與 R。

　（ 三) 直線二級倒立擺 直線兩級倒立擺由直線運動模塊與兩級倒立擺組件組成.

　6、1

　系統(tǒng)物理模型

　 為簡化系統(tǒng)，我們在建模時忽略了空氣阻力與各種摩擦，并認為擺桿為剛體。

　二級倒立擺得組成如圖

　6—1

　所示:

　圖 6—1 直線兩級倒立擺物理模型

　 倒立擺參數(shù)定義如下：

　 M

　小車質(zhì)量

　 m1

　 擺桿 １ 得質(zhì)量

　 m2

　 擺桿 2 得質(zhì)量

　 ｍ3

　 質(zhì)量塊得質(zhì)量

　 l1

　擺桿 1 中心到轉(zhuǎn)動中心得距離

　 l2

　擺桿 2 中心到轉(zhuǎn)動中心得距離

　 θ1 擺桿 1 與豎直方向得夾角 θ２ 擺桿 2 與豎直方向得夾角

　 Ｆ

　作用在系統(tǒng)上得外力

　 利用拉格朗日方程推導運動學方程：

　拉格朗日方程為: L(q，q）=Ｔ（q,ｑ）—V(q,ｑ）

　其中

　L

　為拉格朗日算子,q

　為系統(tǒng)得廣義坐標,T 為系統(tǒng)得動能,Ｖ 為系統(tǒng)得勢能。

　其中

　 ｉ =1，2,3„„n，f i

　為系統(tǒng)在第 i 個廣義坐標上得外力,在二級倒立擺系統(tǒng)中,系統(tǒng)得廣義坐標有三個廣義坐標,分別為 x,θ1，θ2 。

　首先計算系統(tǒng)得動能:

　其中 Tm,Ｔｍ1,Tｍ2，Tm３分別為小車得動能，擺桿 １ 得動能，擺桿 2 得動能與質(zhì)量塊得動能。

　小車得動能：

　Tm1

　= Tm1" ＋Tm２ ’＇ 其中 Tm1" ，Tm2 ’ 分別為擺桿 1 得平動動能與轉(zhuǎn)動動能。

　Ｔｍ2

　= Tm2 " +Tm２ ’’ 其中 Tm2 " ,Tm2 ’ 分別為擺桿 2 得平動動能與轉(zhuǎn)動動能.

　對于系統(tǒng)，設(shè)以下變量:

　xｐend1

　擺桿 １ 質(zhì)心橫坐標;

　yangle1 擺桿 1 質(zhì)心縱坐標;

　xpend2

　擺桿 2 質(zhì)心橫坐標；

　yanglｅ2 擺桿 2 質(zhì)心縱坐標;

　xmaｓｓ

　質(zhì)量塊質(zhì)心橫坐標;

　ymass 質(zhì)量塊質(zhì)心縱坐標;

　又有：

　 由于系統(tǒng)在θ1,θ2 廣義坐標下沒有外力作用，所以有：

　在Ｍaｔｈemaｔicｓ中計算以上各式。

　因其余各項為 0，所以這里僅列舉了 k12、k13、ｋ１７、k22、k23、ｋ27

　等 7 項,得到結(jié)果如下：

　６、２

　系統(tǒng)可控性分析

　 系統(tǒng)狀態(tài)矩陣 A,Ｂ，Ｃ,D 如下:

　利用 MＡＴLAB 計算系統(tǒng)狀態(tài)可控性矩陣與輸出可控性矩陣得秩：

　 得到結(jié)果如下:

　或就是通過 MＡTLAB 命令 ctrb 與 obsv 直接得到系統(tǒng)得可控性與可觀測性。

　運行得到:

　可以得到,系統(tǒng)狀態(tài)與輸出都可控，且系統(tǒng)具有可觀測性. 6、3

　直線兩級倒立擺ＭAＴLＡＢ

　仿真

　在 MAＴLAB Simｕlink 中建立直線兩級倒立擺得模型:

　 其中“Ｓｔａt(yī)e－Spaｃe”模塊為直線兩級倒立擺得狀態(tài)方程,雙擊模塊打開模型:

　 “Contrｏlleｒ”模塊為控制器模塊,在“Coｎtroller”模塊上單擊鼠標右鍵，選擇 “ Look under mask”打開模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)：

　其中“Ｍaｔrｉx Gａin K”為反饋矩陣。

　雙擊“Ｃontrolｌer"模塊打開其參數(shù)設(shè)置窗口: 先設(shè)置參數(shù)為“1"。

　“Ｄisturbanｃe”模塊為外界干擾模塊，其作用就是給系統(tǒng)施加一個階躍信號，點擊

　 “ ”運行模型進行開環(huán)系統(tǒng)仿真.

　得到運行結(jié)果如下:

　從仿真結(jié)果可以瞧出,系統(tǒng)發(fā)散,為使系統(tǒng)穩(wěn)定,需要對其添加控制器。

　 6、４ ＬQＲ 控制器設(shè)計及仿真

　 給系統(tǒng)添加 LＱR 控制器,添加控制器后得系統(tǒng)閉環(huán)圖如下圖所示 :

　下面利用線性二次最優(yōu)控制 LＱR 方法對系統(tǒng)進行控制器得設(shè)計 cｌear;clc;—=２2k?;4６、6=7１k；２6、1２-=31k；９6、68＝２1k?４0、31;ｋ２3=39、45；k2７=-0、088; a= ［0 0 0 １ 0 0；0 ０ 0 0 1 0；0 ０ 0 ０ ０ 1;０

　0 0 ０

　0 0; ０

　k12 ｋ 13 0 0 0 ；０ k22 k23 0 0 0］；?;"]7２k ７１k １ 0 ０ 0 [=b?ｃ =[ １

　0 0 0 0 ０ ；０ 1 0 0 0 0;0 0 １ 0 0 ０］； ;]0 ;0 ;0［=d?ｑ １ 1= １ ； ｑ ２ ２ ＝ 1;q3 ３ =1; ｑ? ＝ [q1１ 0 0 0 ０ 0;0 q22 0 0 0 0；0 0 q33 0 0 0；0 ０ 0 0 0 0;０ 0 0 ０ 0 ０；0 0 0 0 0 0]; r=１; ;k*b—ａ=aa?)r，q,b,ａ(rql=k?

　ｂ=b*k（１)； ;)ｄ，c,b,aa(ss=sｙｓ?t=0:0、０１：5; [y，ｔ,ｘ］=sｔep(ｓys,ｔ）; plot(t,y(:，1)，’g’,t,y（:,2)，＇r",t,y（：,3));o dirｇ?ｎ 運行得到以下結(jié)果:

　 LＱR 控制參數(shù)為：

　 K=［ １

　7３、8１８ —83、９4１

　 ２、016２ 4、2７91 -１3、036]

　 得到仿真結(jié)果如下：

　可以瞧出,系統(tǒng)穩(wěn)定時間過長，因此增加權(quán)重 Q 得值。

　設(shè) Q11=３00;Ｑ２２＝500；Q33=50０；

　運行得到仿真結(jié)果：

　ＬＱR 控制參數(shù)為：

　K=[ 17、32１

　 11０、８7 -1９7、5７

　18、46８ 2、706１ —３２、142]

　 從圖中可以瞧出,系統(tǒng)可以很好得穩(wěn)定,在給定倒立擺干擾后,系統(tǒng)在 2、5 秒內(nèi)可以恢復到平衡點附近。

　 把以上仿真參數(shù)輸入 Sｉmulｉnk 模型中

　 得到運行結(jié)果

　 從圖中可知，系統(tǒng)穩(wěn)定性還不錯。

　但這未必就是最好得參數(shù)。所以,下面改變 LＱR 參數(shù)，比較結(jié)果變化。

　確定最合適參數(shù)。

　１、 設(shè) Q１１=１000;Q22=50０;Q３３=5００;

　運行得到仿真結(jié)果: LQR 控制參數(shù)為：

　ｋ＝31、62２8 116、7093 －2３8、１74２ 29、1０41 1、2221

　-39、3596

　 可瞧出位置在 2 秒左右就可恢復到平衡點位置。而角度依然就是在 2、5 秒內(nèi)恢復到平衡位置. 2、設(shè) Q１1=15０0；Q2２=５00；Q３3=５0０；

　運行得到仿真結(jié)果: LQR 控制參數(shù)為：

　k＝ 38、7２98 11９、2０83 —257、0671 3４、161２ 0、5092

　－４ 2 、 ７166

　 可瞧出位置在１、５—2、０秒內(nèi)就可恢復到平衡點位置．而角度依然就是在 2、5 秒內(nèi)恢復到平衡位置。

　3、 設(shè)Ｑ11＝150０;Ｑ22=500;Ｑ33=５０0；

　運行得到仿真結(jié)果: LＱR 控制參數(shù)為:

　k =

　 44、７２1４

　121、183４ —2７2、5934

　 3８、356２

　 —0、0849

　—45、4７５1

　 可瞧出位置依然在 1、５秒就可恢復到平衡點位置。而角度依然就是在 2、5 秒內(nèi)恢復到平衡位置. 4、設(shè) Q１1=1500；Q22=1000;Q33=10０0;

　運行得到仿真結(jié)果: ＬQＲ 控制參數(shù)為: ｋ =

　３8、7298

　129、4996 -２81、３１18

　３5、738９

　 0、4７21

　—4６、5９05

　 可瞧出位置在 1、5—２、０內(nèi)就可恢復到平衡點位置。而角度就是在 2、5 秒內(nèi)恢復到平衡位置. 5、設(shè) Q１1=１500;Q22=100;Q33=10０;

　運行得到仿真結(jié)果: LQR 控制參數(shù)為：

　ｋ ＝

　 3８、７2９８

　10８、6175 -２3２、1487

　 3２、4616

　0、5479

　-38、７17０

　 可瞧出位置在 1、５內(nèi)就可恢復到平衡點位置．而角度就是在 2 秒內(nèi)恢復到平衡位置. 通過對比,第 5 個參數(shù)最合適。

　LQR 控制參數(shù)為: k =

　 38、7298

　１08、617５ -２32、1487

　 32、４616

　0、５4７９

　-38、7１７0 把其輸入到Ｓimuｌｉnk 模型中。

　 得到運行結(jié)果。

　 此結(jié)果最好,系統(tǒng)不僅可以很好得穩(wěn)定,而且在給定倒立擺干擾后,系統(tǒng)可在 2 秒內(nèi)恢復到平衡點附近. 八. 個人小結(jié)。

　倒立擺實驗個人小結(jié)

　李航 080１1041

　大三上學期得第一次機械工程實驗，我們接觸與學習了減速器,維持一個學期得實驗,我們從結(jié)構(gòu),運動等方面，對機械有了更深得認識,而這個學期,我們要更進一步，從機械控制理論,來讓自己對機械得理解，有一個新得高度。

　我們接觸得倒立擺就是機器人技術(shù)、控制理論、計算機控制等多個領(lǐng)域、多種技術(shù)得有機結(jié)合，其被控系統(tǒng)本身又就是一個絕對不穩(wěn)定、高階次、多變量、強耦合得非線性系統(tǒng)，可以作為一個典型得控制對象對其進行研究。

　倒立擺數(shù)學模型:

　 通過對倒立擺系統(tǒng)得物理模型與實際模型得認知,以及對該系統(tǒng)得階躍響應(yīng)，可控性分析與頻率響應(yīng)分析,我們可以知道倒立擺系統(tǒng)就是不穩(wěn)定得,可控得,所以就有了我們得課題：具體得控制方法。

　在前半個學期,我們學習了機械控制理論,了解了伯德圖與奈奎斯特圖,而在大一得高數(shù)學習中,我們初步學習了MＡTＬAＢ,通過在圖書館以及網(wǎng)上查找資料，我們學習了SIＭULINＫ仿真,為這次實驗打下了一定得基礎(chǔ)。

　對于一級倒立擺線性系統(tǒng)，我們實驗了兩種控制方法：分別就是雙PID控制與LQR控制。

　常規(guī)得PＩＤ控制,就是最早得也就是最經(jīng)典得一種控制方式,由于其算法簡單、魯棒性好、可靠性高,因而至今仍廣泛應(yīng)用于工業(yè)過程控制中。它有三個控制環(huán)節(jié),分別就是比例、積分與微分，實驗中使用得控制器得傳遞函數(shù)就是

　 其中Ｋp、Ｋｉ、Kｄ分別為比例系數(shù)、積分系數(shù)與微分系數(shù)。各個系數(shù)功能如下: 1、 比例系數(shù)Kp增大,閉環(huán)系統(tǒng)得靈敏度增加,穩(wěn)態(tài)誤差減小,系統(tǒng)振蕩增強;比例系數(shù)超過某個值時，閉環(huán)系統(tǒng)可能變得不穩(wěn)定。

　2、 積分系數(shù)Ki增大,可以提高系統(tǒng)得型別,使系統(tǒng)由有差變?yōu)闊o差；積分作用太強會導致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

　3、 微分系數(shù)Kd增大,預測系統(tǒng)變化趨勢得作用增強，會使系統(tǒng)得超調(diào)量減小,響應(yīng)時間變快. 但就是上述得各個參數(shù)在調(diào)節(jié)過程中并不就是相互獨立得,而就是會相互影響。ＰID控制得快速性較差,而且只能對擺角進行控制,無法控制位移。

　雙PＩD控制,則解決了傳統(tǒng)得ＰＩD控制只能控制擺角得缺陷,但就是對于雙ＰＩD控制，如何使擺角角度與小車位置達到協(xié)調(diào)，使系統(tǒng)響應(yīng)收斂,就是個難題,而且PＩD控制就是單控制量,外部擾動對實驗結(jié)果得影響會比較大,所以我們學習了線性二次型控制,也就就是LQR控制。

　LQR控制就是通過最小化性能指標,得到系統(tǒng)得控制量U=-KX,其中Q，Ｒ，分別就是狀態(tài)變量與輸入向量得加權(quán)矩陣,Ｘ就是狀態(tài)量，Ｕ就是控制量，K就是狀態(tài)矩陣.根據(jù)期望性能指標選取Ｑ與R,利用MATLAB 命令ｌqr 就可以得到反饋矩陣K 得值。Ｋ=lqr( Ａ，Ｂ，Q,R）

　改變矩陣Q 得值，可以得到不同得響應(yīng)效果,Ｑ 得值越大(在一定得范圍之內(nèi)），系統(tǒng)抵抗干擾得能力越強,調(diào)整時間越短。利用ＭＡTLAB自帶得函數(shù),可以很快算出反饋矩陣各參數(shù)得值.

　 通過實驗結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)LQR控制作為多變量得控制,穩(wěn)定性，快速性與抗

　干擾性都很好,,ＬＱR控制可得到狀態(tài)線性反饋得最優(yōu)控制規(guī)律 ,易于構(gòu)成閉環(huán)最優(yōu)控制就是現(xiàn)代控制理論中發(fā)展最早也最為成熟得一種狀態(tài)空間設(shè)計法。

　實驗心得: 比較這三種控制方法，經(jīng)典PID控制方法得效果就是最不理想得，因為PＩD這類單輸入輸出得線性控制器,對于倒立擺這種非線性,很不穩(wěn)定得系統(tǒng)，雖然能使其穩(wěn)定,但就是快速性與抗干擾性都很差,相比較而言，LＱR得效果就要好很多。

　這次得倒立擺實驗,可以說就是我做過得最難得一個實驗了,不僅涉及面十分廣,而且涉及得知識也都很難。通過這次實驗，我們對機械控制理論有了更深一步得了解,也把書上學得知識,應(yīng)用到了實際中． 在實驗過程中,我們認識了倒立擺這個經(jīng)典得控制系統(tǒng)，也接觸了PID與LQR等多種控制方法,讓我們對機械,這個詞得概念,也更加深入得有了自己得理解。

　而且作為一個分組實驗,我充分感受到了團隊力量得強大,也體會到了克服困難得艱辛,學會了用多種得途徑去解決難題。通過預習,借閱書籍，上網(wǎng)等多種途徑，也為將來得學習打下良好得基礎(chǔ)。

　而且通過這個控制領(lǐng)域得經(jīng)典基礎(chǔ)實驗,為將來考研以及科研都就是很有幫助得。

　同時要感謝同學與老師對自己得幫助，讓自己能順利得完成這次實驗. 但就是在實驗中，我個人也有一些建議。首先這個實驗得基礎(chǔ)就是機械控制理論基礎(chǔ)這門課，但就是這么課我們在實驗開始得時候壓根就沒學，所以前幾周只能靠自學或者毫無進展，但就是自學不能保證效率,所以實驗得時間安排感覺不就是很好。

　倒立擺實驗小結(jié)

　 李宗澤

　我就是這次倒立擺實驗我們小組得組長,由于分組得關(guān)系，我們組得組員平時成績都不就是特別理想,但就是從一開始，我們就有信心能把這次實驗完成。

　這次實驗要求我們運用經(jīng)典控制理論控制直線一級倒立擺,包括實際系統(tǒng)模型得建立、控制器設(shè)計、頻率響應(yīng)分析、ＰID 控制分析等內(nèi)容。運用現(xiàn)代控制理論中得線性最優(yōu)控制ＬQR 方法實驗控制倒立擺.并且能熟練得運用matlab解決實際問題，了解ＳIMULＩＮK仿真。

　倒立擺就是一種典型得快速、多變量、非線性、絕對不穩(wěn)定、非最小相位系統(tǒng).就是進行控制理論研究得典型實驗平臺,倒立擺實驗就是運用古典控制理論，結(jié)合現(xiàn)代應(yīng)用軟件MAＴLAB里得ＳIMＵLＩＮK對其進行仿真,最后在實際實驗中對擺桿進行快速性,準確性與穩(wěn)定性控制，達到理想得效果。因此,研究倒立擺具有重要得理論與實踐意義。

　實驗得初期，也就就是前幾周，我們主要先大致預習了控制理論里得頻率響應(yīng)與時域響應(yīng)得內(nèi)容,了解了伯德圖與奈奎斯特圖得含義。并且到圖書館里借閱了相關(guān)書籍，到網(wǎng)上查找有關(guān)資料,并且結(jié)合大一時得高數(shù)課，復習了ｍａt(yī)ｌab得基本操作。

　這次實驗得主要內(nèi)容就是利用三種控制方法,使倒立擺系統(tǒng)達到穩(wěn)定，并且比較三種控制方法得優(yōu)劣。

　我們首先做得就是經(jīng)典PID控制，經(jīng)典PＩＤ控制就是最早發(fā)展起來得一種控制方法，由于其算法簡單、魯棒性好、可靠性高,因而至今仍廣泛應(yīng)用于工業(yè)過

　程控制中。該方法得主要思想就是:根據(jù)給定值r與系統(tǒng)得實際輸出值c構(gòu)成控制偏差e，然后將偏差得比例（ Ｐ) 、積分( I）與微分(D）三項通過線性組合構(gòu)成控制量,對被控對象進行控制,故稱為PIＤ控制。

　比例環(huán)節(jié)P得作用,就是對當前時刻得偏差信號進行放大或衰減后作為控制信號輸出。積分環(huán)節(jié)I可以累計從零時刻起到當前得輸入信號得全部值。微分環(huán)節(jié)Ｄ得輸出正比于輸入得當前變化率,作用就是有偏差信號得當前變化率來預見隨后得偏差將就是增大還就是減小,增減幅度如何。PID控制通過調(diào)節(jié)KＰ,ＫI，ＫＤ三個基本參數(shù),來實現(xiàn)仿真，達到預期得控制效果,但就是ＰＩD控制就是一個單輸入輸出得控制，它只能搖桿得角度,而不能控制小車得位移。

　雙PID控制就是利用兩個PＩD來同時控制倒立擺系統(tǒng),雙PID得模型如下:

　雙PID控制雖然能控制小車得位移,但就是我們在實際操作過程中,發(fā)現(xiàn)實驗結(jié)果得曲線很難達到收斂，往往都就是發(fā)散得。

　ＬＱR控制:線性二次型調(diào)節(jié)器(Linear Qｕaｄratic Regulaｔor —ＬＱR）

　問題在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要得位置，受到控制界得普遍重視,應(yīng)用十分廣泛，就是現(xiàn)代控制理論得中最重要得成果之一。線性二次型（LQ）

　性能指標易于分析、處理與計算，而且通過線性二次型最優(yōu)設(shè)計方法得到得倒立擺系統(tǒng)控制方法，具好較好得魯棒性與動態(tài)特性以及能夠獲得線性反饋結(jié)構(gòu)等優(yōu)點,因而在實際得倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計中,得到了廣泛得應(yīng)用。

　LQR控制通過mａt(yī)ｌaｂ得程序，根據(jù)期望性能指標選取Q與R,就可以得到反饋矩陣K得值。改變矩陣Q得值，可以得到不同得響應(yīng)結(jié)果,Ｑ得值越大,系統(tǒng)抵抗干擾能力越強，調(diào)整時間越短。

　從實驗得結(jié)果來瞧,LQR控制在快速性與抗干擾性上，都要強于PＩD控制，這就是因為LQR就是多變量控制.

　經(jīng)過了這次實驗,我有了很多收獲：

　1. 作為一個小組得組長,我體會到了自己身上得責任與壓力,從分配任務(wù)到實驗進行,實驗報告,對我自己都就是一個很好得鍛煉。

　2. 這次實驗過程中,我也學習到了很多平時接觸不到得知識，復習了maｔlab得應(yīng)用，了解了simulink模塊得應(yīng)用,而且也對現(xiàn)代控制理論有了理解，為將來得學習打下基礎(chǔ). 3. 體會到了團隊力量得強大，大家得互相努力,才有了這次實驗得成功. 4. 最后離不開老師與同學對自己與我們這個小組得幫助，感謝老師與同學． 倒立擺實驗小結(jié) 機自８2

　劉凱

　 08011０44 倒立擺就是進行控制理論研究得典型實驗平臺。由于倒立擺系統(tǒng)得控制策略與雜技運動員頂桿平衡表演得技巧有異曲同工之處，極富趣味性，而且許多抽象得控制理論概念如系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性與系統(tǒng)抗干擾能力等等，都可以通過倒立擺系統(tǒng)實驗直觀得表現(xiàn)出來。倒立擺系統(tǒng)本身所具有得高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性與強耦合特性。主要特點包括:１、開放性:采用四軸運動控制板卡,機械部分與電氣部分非常容易擴展,可以根據(jù)用戶需要進行配置.系統(tǒng)軟件接口充分開放,用戶不僅可以使用配套得實驗軟件，而且可以根據(jù)自己得實際需要擴展軟件得功能．2 模塊化：系統(tǒng)得機械部分可以選用直線或者旋轉(zhuǎn)平臺，根據(jù)實際需要配置成一級、二級或者三級倒立擺．而三級擺可以方便地改裝成兩級擺，兩級擺可以

　改裝成一級擺。系統(tǒng)實驗軟件同樣就是基于模塊化得思想設(shè)計,用戶可以根據(jù)需要

　增加或者修改相應(yīng)得功能模塊。

　3 簡易安全:擺實驗系統(tǒng)包括運動控制板卡、電控箱（旋轉(zhuǎn)平臺系統(tǒng)中與機械本體聯(lián)在一起)、機械本體與微型計算機幾個部分組成,安裝升級方便。同時在機械、運動控制板卡與實驗軟件上都采取了積極措施，保證實驗時人員得安全可靠與儀器安全。

　4 方便性：倒立擺系統(tǒng)易于安裝、升級,同時軟件界面操作簡單。

　5 先進性:采用工業(yè)級四軸運動控制板卡作為核心控制系統(tǒng)，先進得交流伺服電機作為驅(qū)動,檢測元件使用高精度高性能光電碼盤。系統(tǒng)設(shè)計符合當今先進得運動控制發(fā)展方向。

　 ６ 實驗軟件多樣化:用于實驗得軟件包括經(jīng)典得ＢorｌaｎｄC++，VC++，以及控制領(lǐng)域使用最多得仿真工具 Mａｔlab,提供完備得設(shè)備接口與程序接口，方便用戶進行實驗與開發(fā).

　特性包括

　1）

　非線性

　倒立擺就是一個典型得非線性復雜系統(tǒng),實際中可以通過線性化得到系統(tǒng)得近似模型，線性化處理后再進行控制。也可以利用非線性控制理論對其進行控制。倒立擺得非線性控制正成為一個研究得熱點。

　 2）

　不確定性

　 主要就是模型誤差以及機械傳動間隙，各種阻力等，實際控制中一般通過減少各種誤差來降低不確定性,如通過施加預緊力減少皮帶或齒輪得傳動誤差，利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定因素。

　 3)

　耦合性

　倒立擺得各級擺桿之間,以及與運動模塊之間都有很強得耦合關(guān)系,在倒立擺得控制中一般都在平衡點附近進行解耦計算，忽略一些次要得耦合量。

　4）

　開環(huán)不穩(wěn)定性

　倒立擺得平衡狀態(tài)只有兩個,即在垂直向上得狀態(tài)與垂直向下得狀態(tài)，其中垂直向上為絕對不穩(wěn)定得平衡點,垂直向下為穩(wěn)定得平衡點。5）約束限制

　由于機構(gòu)得限制,如運動模塊行程限制，電機力矩限制等。為了制造方便與降低成本,倒立擺得結(jié)構(gòu)尺寸與電機功率都盡量要求最小,行程限制對倒立擺得擺起影響尤為突出,容易出現(xiàn)小車得撞邊現(xiàn)象。

　 這個學期我們學習了機械控制理論基礎(chǔ)這門課程正好應(yīng)用在本次實驗上。我們借閱了很多關(guān)于智能控制及現(xiàn)代理論控制方面得書籍,深入地了一級倒立擺,二級倒立擺得原理。,、在完成得過程中盡管遇到了重重困難,但就是在老師與同學得幫助下,在通過我們自己得努力,也順利將其克服。實驗結(jié)束了,我們受益匪淺,這次實驗不但鍛煉了我們得發(fā)現(xiàn)問題，思考問題，解決問題得能力,還使我們對機械控制系統(tǒng)得進一步認識,培養(yǎng)了我們小組成員得分工協(xié)作能力 。

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