精選 試題

　 二次函數(shù)考察重點(diǎn)與常見(jiàn)題型( 學(xué)生用)

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　編制日期：二 O O 二 二 O O 年六月

　二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見(jiàn)題型

　1 ． 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：

　已知以 x 為自變量的二次函數(shù) 2 ) 2 (2 2? ? ? ? ? m m x m y 的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)， 則 m 的值是

　2． 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類(lèi)型為選擇題，如：

　如圖，如果函數(shù) b kx y ? ? 的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù) 12? ? ? bx kx y 的圖像大致是（

　 ）

　 y

　 y

　 y

　 y

　 1

　1

　 0

　x

　o-1

　x

　0

　x

　0 -1

　x

　A

　 B

　 C

　 D

　3． 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類(lèi)型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：

　已知一條拋物線經(jīng)過(guò)(0,3)，(4,6)兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為35? x ，求這條拋物線的解析式。

　4． 考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：

　已知拋物線2y ax bx c ? ? ? （a≠0）與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－1、3，與 y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是－ 32

　 （1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

　5 ．考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見(jiàn)的作為專(zhuān)項(xiàng)壓軸題。

　【例題經(jīng)典】

　【由拋物線的位置確定 系數(shù)的符號(hào)】

　例 1 （1）二次函數(shù)2y ax bx c ? ? ? 的圖像如圖 1，則點(diǎn) ) , (acb M 在（

　）

　A．第一象限

　B．第二象限

　 C．第三象限

　 D．第四象限

　（2）已知二次函數(shù) y=ax 2 +bx+c（a≠0）的圖象如圖 2 所示，•則下列結(jié)論：①a、b 同號(hào)；②當(dāng) x=1 和 x=3 時(shí)，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng) y=-2 時(shí)，x 的值只能取 0.其中正確的個(gè)數(shù)是（

　）

　A．1 個(gè)

　B．2 個(gè)

　C．3 個(gè)

　D．4 個(gè)

　 (1)

　 (2) 【點(diǎn)評(píng)】弄清拋物線的位置與系數(shù) a，b，c 之間的關(guān)系，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 例 2.已知二次函數(shù) y=ax 2 +bx+c 的圖象與 x 軸交于點(diǎn)(-2，O)、(x 1 ，0)，且 1<x 1 <2，與 y軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(O，2)的下方．下列結(jié)論：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(

　)

　 A 1 個(gè)

　B. 2 個(gè)

　C. 3 個(gè)

　D．4 個(gè)

　 【會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式】

　例 3.已知：關(guān)于 x 的一元二次方程 ax 2 +bx+c=3 的一個(gè)根為 x=-2，且二次函數(shù) y=ax 2 +bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線 x=2，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(

　)

　 A(2，-3)

　B.(2，1)

　C(2，3)

　D．(3，2)

　例 4、（2006 年煙臺(tái)市）如圖（單位：m），等腰三角形 ABC以 2米/秒的速度沿直線 L向正方形移動(dòng)，直到 AB 與 CD重合．設(shè) x 秒時(shí)，三角形與正方形重疊部分的面積為 ym 2 ． （1）寫(xiě)出 y與 x 的關(guān)系式； （2）當(dāng) x=2，時(shí)，y分別是多少 （3）當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí)， 三角形移動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、 對(duì)稱(chēng)軸.

　 例 5、已知拋物線 y=12x 2 +x-52． （1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸． （2）若該拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 A、B，求線段 AB 的長(zhǎng)．

　 【點(diǎn)評(píng)】本題（1）是對(duì)二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（2）問(wèn)主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．

　例 6.已知：二次函數(shù) y=ax 2 -(b+1)x-3a的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(4，10)，交 x 軸于 ) 0 , (1x A ， ) 0 , (2x B兩點(diǎn) ) (2 1x x ? ，交 y軸負(fù)半軸于 C 點(diǎn)，且滿(mǎn)足 3AO=OB． (1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn) M，使銳角∠MCO>∠ACO若存在，請(qǐng)你求出 M 點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

　例 7、 “已知函數(shù) c bx x y ? ? ?221的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（c，－2），

　 求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是 x=3。”題目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無(wú)法辨認(rèn)的文字。

　（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式若能，請(qǐng)寫(xiě)出求解過(guò)程，并畫(huà)出二次函數(shù)圖象；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

　（2）請(qǐng)你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。

　點(diǎn)評(píng)：

　對(duì)于第（1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來(lái)的結(jié)論“函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是 x=3”當(dāng)作已知來(lái)用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（c，－2）”，就可以列出兩個(gè)方程了，而解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對(duì)于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個(gè)任意點(diǎn)的坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)等。

　 【用二次函數(shù)解決最值問(wèn)題】

　例 1 已知邊長(zhǎng)為 4 的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形 ABCDE（如圖），其中 AF=2，BF=1．試

　在 AB 上求一點(diǎn) P，使矩形 PNDM 有最大面積．

　【評(píng)析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力．同時(shí)，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間．

　例 2

　某產(chǎn)品每件成本 10元，試銷(xiāo)階段每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià) x（元）•與產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量 y（件）之間的關(guān)系如下表：

　x（元）

　15 20 30 … y（件）

　25 20 10 …

　 若日銷(xiāo)售量 y是銷(xiāo)售價(jià) x 的一次函數(shù)．

　 （1）求出日銷(xiāo)售量 y（件）與銷(xiāo)售價(jià) x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

　 （2）要使每日的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元•此時(shí)每日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少元

　 【點(diǎn)評(píng)】解決最值問(wèn)題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類(lèi)似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最省）”的設(shè)問(wèn)中，•“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）•問(wèn)的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

　例 3.你知道嗎平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為 4 m，距地面均為 1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離 1m、2．5 m處．繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過(guò)他們的頭頂．已知學(xué)生丙的身高是 1．5 m，則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示) (

　) A．1．5 m

　B．1．625 m

　 C．1．66 m

　 D．1．67 m 分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用

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