.

　實驗二

　靜電場的描繪

　【目的與任務】

　1、理解用模擬法描繪靜電場的原理和方法；

　2、學會用模擬法描繪靜電場的等勢線和電場線；

　3、定性說明同軸圓柱面和帶電直導線電流場的特點及其應用。

　【儀器與設備】

　靜電場描繪儀（西安教學儀器廠生產）

　，萬用電表，坐標紙等。儀器簡介：

　1、交流電源

　交流電源輸出電壓在

　0～ 10V 之間連續可調， 最大輸出電流

　l A。實驗時將輸出電壓調節

　到實驗要求之值。

　2、靜電場描繪儀

　圖 1 靜電場描繪儀

　靜電場描繪儀如圖

　1 所示， 支架采用雙層式結構，

　下層放置水盤和電極，

　上層安放坐標

　紙。

　P 是測量探針，用于在水中測量各點的電勢，

　P′是與

　P 聯動的記錄探針，可將

　P 在水

　中測得的各電勢點通過按下指針

　P′在坐標紙上打出印跡，

　同步地記錄在坐標紙上。

　由于 P、

　P′是固定在同一探針架上的，所以兩者繪出的圖形完全相同。

　3、模擬電極

　可提供兩點電荷

　(平行輸電線

　)，同軸柱面

　(同軸電纜 )，聚焦電極三種模擬電極。

　【原理與方法】

　1、直接測量靜電場的困難

　帶電體在周圍空間產生的靜電場，可用電場強度

　E 或電勢

　 U 的空間分布來描述。一般

　情況下， 可從已知的電荷分布，

　用靜電場方程求出其對應的電場分布，

　但對較復雜的電荷分

　布，如電子管、示波管、電子顯微鏡、加速器等電極系統，數學處理上十分困難，因而總是希望用實驗方法直接測量。

　但是，直接測量靜電場往往很困難。

　因為，首先靜電場中無電流，

　不能使用磁電式儀表，

　而只能使用較復雜的靜電儀表和相應的測量方法；

　其次，探測裝置必

　.

　須是導體或電介質， 一旦放入靜電場中， 將會產生感應電荷或極化電荷， 使原電場發生改變，影響測量結果的準確性。

　若用相似的電流場來模擬靜電場， 則可從電流場得到對應的靜電場的具體分布。

　2、用穩恒電流場模擬靜電場的可行性

　如果兩種物理現象在一定條件下滿足同一形式的數學規律，則可將對其中某一種物理

　現象的研究來代替對另一種物理現象的研究，

　這種研究方法稱為模擬法。

　模擬法本質上就是

　利用幾何形狀和物理規律在形式上相似的原理，

　把不便于直接測量的物理量在相似條件下間

　接地實現。

　穩恒電流場與靜電場是兩種不同性質的場，但兩者在一定條件下具有相似的空間分布，

　即兩種場所各自遵守的規律在形式上相似，都可以引入電勢

　U ，電場強度

　E =

　－▽

　U ，都遵

　守高斯定律。

　對于靜電場，電場強度在無源區域內滿足以下積分關系

　E

　dS

　0 ，

　E

　dl

　0

　r

　r 在各向同性的導電介質中，對于穩恒電流場，電流密度矢量

　j (

　E) 在無源區域內也滿足

　類似的積分關系

　j

　dS

　0 ，

　j

　dl

　0

　r

　r

　由此可見

　E 和

　j 在各自區域中滿足同樣的數學規律。在相同邊界條件下，具有相同的解析

　解。因此， 我們可以用穩恒電流場來模擬靜電場，

　通過測量恒定電流場的電勢分布來求得模

　擬靜電場的電勢分布。

　這種利用幾何形狀和物理規律在形式上的相似，

　把不便于直接測量的

　量在相似條件下用模擬的方法加以間接實現。

　3、靜電場與穩恒電場的相似性

?。?1）長同軸帶電圓柱體間靜電場分布

　如圖 2(a) 所示， 在真空中有一半徑為

　r a

　的長圓柱體

　A

　和一內半徑為

　r b

　的長圓筒形導體

　B，它們同軸放置，分別帶等量異號電荷。由高斯定理知，在垂直于軸線的任一截面

　S 內，

　都有均勻分布的輻射狀電場線，

　這是一個與坐標

　z 無關的二維場。

　在二維場中， 電場強度

　E

　平行于

　xy

　平面 ,其等勢面為一簇同軸圓柱面。因此只要研究

　S 面上的電場分布即可。

　 圖 2

　同軸電纜及其靜電場分布

　由靜電場中的高斯定理可知，距軸線的距離為

　r 處（見圖

　 2b）的各點電場強度為

　E 2

　0

　r

　 .

　（1）

　 式中 為柱面單位長度的電荷量，其電勢為

　 U r

　U a r Edr

　 U a ln r

　r a

　 2 0 r a

?。?）

　設 r = r b

　時， U b =0 ，則有

　U a

　2 0 ln

　r b

　r a

　 （3）

　將（ 3）式代入（ 2）及（ 1）式，得

　ln r b U r

　U a r r b ln

　r a

　（4）

　dU r U a 1 E r r b r dr

　ln

　 r a

　 （ 5）

?。?2）同軸圓柱面電極間的電場分布

　若上述圓柱形導體

　A

　與圓筒形導體

　B 之間充滿了電導率為

　σ 的不良導體，

　A 、 B 與電

　源電流正負極相連接（見圖

　3），A、B 間將形成徑向電流，建立穩恒電流場

　E r ′，可以證明

　不良導體中的電場強度

　E r ′與原真空中的靜電場

　E r

　是相等的。

　取厚度為

　t

　的圓軸形同軸不良導體片為研究對象，設材料電阻率為

　ρ （

　ρ =1/

　σ ），則任意

　半徑 r

　到 r +d r

　的圓周間的電阻是

　dr dr dr dR 2 rt 2

　t

　r s （6）

　 則半徑為

　r

　到 r

　b

　之間的圓柱片的電阻為

　r b Rrr b 2 t r

　 dr ln

　rb r 2

　t

　 r （ 7）

　 .

　圖 3

　同軸電纜的模擬模型

　總電阻為 (半徑 r a

　到 r b

　之間圓柱片的電阻

　)

　Rr r

　ln

　rb a

　b 2

　t r a

　 （8）

　設 U b =0 ，則兩圓柱面間所加電壓為

　U a ，徑向電流為

　 U a 2 tU a

　I r b

　Rr a

　r b

　 ln

　 r a

　 （9）

　 距軸線

　r

　處的電勢為

　 ln

　rb

　U r

　IR rr b r

　U a

　 ln

　rb

　 r a

　 （10）

　 則

　E r dU r U a 1

　= r b r

　 dr

　ln

　 r a

?。?1）

　 由以上分析可見，

　U r

　與 U r ′，

　E r

　與 E r

　′的分布函數完全相同。為什么這兩種場的分布

　相同呢？我們可以從電荷產生場的觀點加以分析。

　在導電介質中沒有電流通過的， 其中任一 體積元（宏觀小，微觀大，其內仍包含大量原子）內正負電荷數量相等，沒有凈電荷，呈電

　 中性。

　當有電流通過時，

　單位時間內流入和流出該體積元內的正或負電荷數量相等， 凈電荷 仍為零，仍然呈電中性。因而，整個導電介質內有電流通過時也不存在凈電荷。這就是說，

　 真空中的靜電場和有穩恒電流通過時導電介質中的場都是由電極上的電荷產生的。事實上，

　 真空中電極上的電荷是不移動的， 在有電流通過的導電介質中，

　 電極上的電荷一邊流失， 一

　邊由電源補充，在動態平衡下保持電荷的數量不變。所以這兩種情況下電場分布是相同的。

　.

　4、靜電場的測繪方法

　r

　r 由電磁學理論可知，

　場強 E

　在數值上等于電勢梯度，

　方向指向電勢降落方向。

　考慮到

　E

　是矢量，而電勢 U

　是標量，從實驗測量來講，測定電勢比測定場強容易實現，所以可先測繪等勢面（線）

　，然后根據電場線與等勢面（線）正交的原理，畫出電場線，并且可由等勢線的間距確定電場線的疏密和指向，將抽象的電場形象地反映出來。例如：

?。?1）無限長的帶異號電荷同軸柱面的電場分布（例如同軸電纜）

?。?/p>

　其靜電場分布的特點是：①、對稱性：電場的分布局限在兩圓柱面之間的環形區域內，

　并具有軸對稱性的特點；②、與

　z 軸無關。

　在圓環

　B 中放一層自來水，在電極上加－

　U 和＋ U，由于對稱性，該電流場等勢面都

　是同心圓，場中的等勢線和電場線分布的圖形見圖

　4。

　圖 4

　圖 5

?。?2）兩根平行帶等量異號電荷的的長直導線的電場分布：

　兩根導線 A、 B 各帶等量異號電荷，其上電勢分別為＋ U 和－ U，其靜電場分布的特點是：①、對稱性，等電勢面是以 OO ′面對稱分布的，電場中等勢面和電場線分布如圖 5 所

　示；②、與

　z 軸無關。

　做實驗時，是以導電率適合的自來水，填充在兩極之間。若在兩電極上加一定的電壓，就可以測出自來水中兩個電極之間電流場的等勢線分布，從而畫出電場線的分布。

　 【指導與要求】

　一、實驗步驟

　1、描繪同軸圓柱面的電流場分布：

　（ 1）按圖

　6 連接好電路

?。?2）在水槽中注入適量的自來水。

　（ 3）移動探針，將

　P 在水中測得的各電勢相同點，通過按下指針

　P′打出印跡，同步

　地記錄在坐標紙上。測出電流場中各條等位線（如圖

　4 所示）。

　例如：測出電勢為

　0V， 2.00V， 4.00V，

　6.00V 的等勢線，每一電勢對稱地測

　6~12 個

　點，然后把各點連成等勢線，再畫出電場線，并標出場強的方向。

　2、描繪帶電直導線的電流場分布：

　方法同上。要求：要按圖

　5 對稱地測出

　5 條等勢線并畫出電場線。二、數據記錄及處理

　.

　1、將描出的各圖貼在實驗報告上。

　2、結論

　 圖 6 （ 1）、根據實驗結果，說明同軸柱面的

　 電流場分布特點：

?、?、各同心圓上的電勢都

　。

?、?、電場線都是從 極指向 極，且與 垂直。

?、?、應用上述原理說明同軸電纜的作用。（ 2）、說明帶電直長導線電流場分布特點。

　 【思考與練習】

　 1、如果電源電壓不穩定，對等勢線的描繪有影響嗎？將極間電壓的極性交換一下，所

　作的等勢線有變化嗎？

　2、做電勢測量時能用低內阻電壓表嗎？

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