自然界中事物發(fā)展與變化具有普遍性，而對某個個體來說同時也具有特殊性，兩者相輔相成.特殊與一般的辯證關(guān)系是普遍存在、對立統(tǒng)一的，它們之間的關(guān)系是哲學(xué)的，也是生活的，更是數(shù)學(xué)的.由特殊到一般，再由一般到特殊的研究數(shù)學(xué)問題的基本認(rèn)識的過程就是數(shù)學(xué)研究的特殊與一般思想.數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“我們應(yīng)該討論一般化、特殊化和類比這些過程本身，它們是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉.”

1 特殊與一般思想的考查綜述

從課程內(nèi)容的呈現(xiàn)來看，教材編寫注重反映數(shù)學(xué)發(fā)展以及人們的認(rèn)識規(guī)律，體現(xiàn)從具體到抽象、特殊到一般的原則.數(shù)學(xué)思想方法的考查是對考生的數(shù)學(xué)知識更高層次上的考查，特殊與一般思想是課標(biāo)課程高考考查的七大數(shù)學(xué)思想之一.考查時必然以數(shù)學(xué)知識為載體，來反映考生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度.在高考中設(shè)計一些集中體現(xiàn)特殊與一般思想的試題，能夠考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和情感與態(tài)度、品質(zhì)以及探索精神.

2 基于考試的特殊與一般思想的考查回顧

2.1特殊與一般思想的方法性體現(xiàn)

2.1.1 以函數(shù)與導(dǎo)數(shù)為載體，突出函數(shù)意識，體現(xiàn)特殊與一般思想的考查

對于一些函數(shù)問題，有時是對特殊函數(shù)的特殊研究，而有時是研究函數(shù)的一般性質(zhì)，可由特殊函數(shù)，得出一般的結(jié)論.這種體現(xiàn)特殊到一般、一般到特殊的思想方法在高考函數(shù)考查中屢見不鮮.

例1 (2011年高考福建卷·理9)對于函數(shù)

( )sin f xax bxc=++ (其中，a，b∈R，c∈Z )，選取a，b，c的一組值計算(1)f和( 1)f?，所得出的正確結(jié)果一定不可能是

A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2

評析 本題本質(zhì)考查的是對函數(shù)奇偶性的掌握.應(yīng)結(jié)合備選項特點，可由(1)( 1)2ffc+?=，聯(lián)想到更一般的結(jié)論：( )()2f mfmc+?=，因c是整數(shù)，故2c是偶數(shù)，即可得.

2.1.2 以數(shù)列為載體，重視合情推理，體現(xiàn)特殊與一般思想的考查

數(shù)列本質(zhì)上是一種特殊的函數(shù).高考考查時常將數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識交匯，重在歸納創(chuàng)新合情推理，是作為體現(xiàn)特殊與一般思想的主要載體.

例2 (2009年高考湖北卷·理10)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù)，例如：

他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是

A.289 B.1024 C.1225 D.1378

評析 本題考查歸納推理，考查考生的觀察能力，體現(xiàn)特殊與一般思想.

2.1.3 以平面向量為載體，注意向量應(yīng)用，體現(xiàn)特殊與一般思想的考查

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，經(jīng)常可通過特殊化研究一般的結(jié)論，而其一般性質(zhì)中也常含有特殊性.

例3 (2011年高考福建卷·理15)設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射:f V→R滿足：對任意向量

，.

其中，具有性質(zhì)P的映射的序號為____.（寫出所有具有性質(zhì)P的映射的序號）

評析 本題體現(xiàn)了命題者有較深的高等數(shù)學(xué)知識背景.考查推理論證能力，需要考生正確理解映射f所具有的性質(zhì)P的本質(zhì)涵義，這是一般性質(zhì)，對結(jié)論中特殊映射，需要借助性質(zhì)P對試題所給出的三個映射進行判斷.體現(xiàn)一般到特殊的思想.

2.1.4 以立體幾何為載體，建立適當(dāng)模型，體現(xiàn)特殊與一般思想的考查

立體幾何許多涉及演繹推理證明的問題體現(xiàn)一般到特殊的過程.許多空間問題的一般性質(zhì)可以考慮借助特殊點、特殊位置、特殊圖形等來研究.

例4 (2010年高考浙江卷·理6)設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是

A.若lm⊥，mα?，則lα⊥

B.若lα⊥，lm//，則mα⊥

C.若lα

//，則lm//

評析 本題考查線線、線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)等知識，可把抽象問題特殊化為正方體（長方體）來研究，體現(xiàn)特殊與一般思想在解題中的靈活應(yīng)用.

2.1.5 以解析幾何為載體，關(guān)注一般性質(zhì)，體現(xiàn)特殊與一般思想的考查

解析幾何許多結(jié)論，特別是圓錐曲線的性質(zhì)通常具有一般性.可以從特殊入手發(fā)現(xiàn)結(jié)果，再對一般情況加以求證得解，予以應(yīng)用.

例5 (2010年高考全國課標(biāo)卷·理16)已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且2BFFD=

評析 本題考查橢圓方程及其幾何性質(zhì)、平面向量的坐標(biāo)運算、向量運算、解三角形、三角形相似等知識.本題是一般橢圓具備的結(jié)論，可選擇合適的橢圓方程使運算簡化.考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想.

此外，在高考客觀題中，還經(jīng)常出現(xiàn)一些集合、不等式、三角函數(shù)、統(tǒng)計與概率等為背景的試題.若能將特殊與一般思想靈活運用于這些問題中，則可節(jié)約時間資源，提高解題效率.

2.2特殊與一般思想的過程性體現(xiàn)

2.2.1體現(xiàn)一般規(guī)律發(fā)現(xiàn)過程的函數(shù)背景題

以函數(shù)作為背景綜合多個知識點的考查，同時注重多種思想方法的考查是高考數(shù)學(xué)主觀題常見的形式.其間既有研究方法的一般性，也有發(fā)現(xiàn)過程運用的特殊性.

例6 (2010年高考福建卷·理20)（Ⅰ）已知函數(shù)+≠，請給出類似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明.

評析 本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，定積分求面積等知識.（Ⅱ）運用合情推理得出猜想，并運用平移變換后的面積不變性，得出面積比.考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想，考查抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力.要求從一個特殊曲線所具有的性質(zhì)，推廣到同一類曲線的一般性問題，是特殊與一般思想的過程性體現(xiàn).

2.2.2 體現(xiàn)一般結(jié)論性問題的幾何背景題

解析幾何本身的很多結(jié)論具有一般性，高考考查中以探究性問題形式出現(xiàn)的設(shè)問形式，常常需要從特殊入手去研究一般結(jié)果.運用特殊與一般思想探究問題和解決問題的考查應(yīng)引起重視.

例7 (2011年質(zhì)檢福建卷·文22)已知拋物線

:

△的外接圓過點F；

(ii)試探究：若改變點F′的位置，或拋物線C的開口大小，(i)中的結(jié)論是否依然成立?由此給出一個使(i)中結(jié)論成立的命題，并加以證明.

評析 本題考查拋物線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力與創(chuàng)新意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及特殊與一般思想.

3 基于考試的特殊與一般思想的考查展望

考查特殊與一般思想是考查考生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力的重要嵌入點，以各種內(nèi)容為素材，突出考查特殊與一般的思想的試題已成為命題的一個亮點.基于上述認(rèn)識，下面給出兩例進行展望.

3.1以方法為切入點考查特殊與一般思想

示例1已知函數(shù) mn<，則下列結(jié)論正確的是

A. ( )( )f mf n>B. ( )( )f mf n=

C. ( )( )f mf n

命制意圖 函數(shù)性質(zhì)的考查一直是高考數(shù)學(xué)的重點之一.本題涉及了函數(shù)性質(zhì)的概念及判定、比較大小、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用等知識，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，特殊與一般思想，較好地考查了函數(shù)的本質(zhì)屬性.同時考查考生的綜合素質(zhì)及數(shù)學(xué)素養(yǎng)，可以起到選拔區(qū)分的功能.本題可追溯至更一般的函數(shù)性質(zhì)問題，也可構(gòu)造更特殊的問題來設(shè)問.如把函數(shù)一般化，設(shè)定義在R上的偶函數(shù)( )f x滿足：對任意的??的大小比較；也可把函數(shù)特殊化，如把示例1的題設(shè)條件改為“已知函數(shù) f xxbxc=?++是偶函數(shù)”.或把函數(shù)改成“( )lnf xxx=?”，不考奇偶性，只涉及單調(diào)性的考查.甚至可把題目變的更特殊，如比較1 ln1?，

?的大小，則需把這命題一般化，抓住本質(zhì)，才可快速準(zhǔn)確得解.

3.2注重過程展現(xiàn)來考查特殊與一般思想示例2 設(shè)函數(shù)32

（Ⅰ）求( )f x的極值；

（Ⅱ）若對[ 1 1]x∈?，時，不等式2

( ) f xa<恒成立，求a的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)3a =時，關(guān)于x的方程( )0f x =有幾個實數(shù)根；試探討當(dāng)實數(shù)a取不同值時，方程( )0f x =實數(shù)根的個數(shù).

命制意圖 本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識.第（Ⅲ）題的前半段，考查本意絕非三次方程的求解問題，本質(zhì)意圖是通過對特殊函數(shù)方程根的個數(shù)研究，來找出一般函數(shù)對不同的參數(shù)取值時其圖象與性質(zhì)的變化情況，要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)作工具來研究函數(shù)性質(zhì)，進而探討方程根的情況.第（Ⅲ）題主要是從特殊到一般的過程中尋找解決問題的途徑.綜合考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想，考查抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力等.要求從一個特殊曲線所具有的性質(zhì)，推廣到一類曲線的一般性問題，考查考生探究問題發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力.

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