【含義】
在解題時(shí)，先求出一份是多少(即單一量)，然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。
【數(shù)量關(guān)系】
總量份數(shù)=1份數(shù)量
1份數(shù)量所占份數(shù)=所求幾份的數(shù)量
另一總量(總量份數(shù))=所求份數(shù)
【解題思路和方法】
先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。
例1
買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢?
解
(1)買1支鉛筆多少錢?0.65=0.12(元)
(2)買16支鉛筆需要多少錢?0.1216=1.92(元)
列成綜合算式0.6516=0.1216=1.92(元)
答：需要1.92元。
例2
3臺拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計(jì)算，5臺拖拉機(jī)6天耕地多少公頃?
解
(1)1臺拖拉機(jī)1天耕地多少公頃?9033=10(公頃)
(2)5臺拖拉機(jī)6天耕地多少公頃?1056=300(公頃)
列成綜合算式903356=1030=300(公頃)
答：5臺拖拉機(jī)6天耕地300公頃。
例3
5輛汽車4次可以運(yùn)送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運(yùn)送105噸鋼材，需要運(yùn)幾次?
解
(1)1輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材?10054=5(噸)
(2)7輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材?57=35(噸)
(3)105噸鋼材7輛汽車需要運(yùn)幾次?10535=3(次)
列成綜合算式105(100547)=3(次)
答：需要運(yùn)3次。
【含義】
解題時(shí)，常常先找出總數(shù)量，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂總數(shù)量是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)(幾天)的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。
【數(shù)量關(guān)系】
1份數(shù)量份數(shù)=總量
總量1份數(shù)量=份數(shù)
總量另一份數(shù)=另一每份數(shù)量
【解題思路和方法】
先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。
例1
服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套?
解
(1)這批布總共有多少米?3.2791=2531.2(米)
(2)現(xiàn)在可以做多少套?2531.22.8=904(套)
列成綜合算式3.27912.8=904(套)
答：現(xiàn)在可以做904套。
例2
小華每天讀24頁書，12天讀完了《紅巖》一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完《紅巖》?
解
(1)《紅巖》這本書總共多少頁?2412=288(頁)
(2)小明幾天可以讀完《紅巖》?28836=8(天)
列成綜合算式241236=8(天)
答：小明8天可以讀完《紅巖》。
例3
食堂運(yùn)來一批蔬菜，原計(jì)劃每天吃50千克，30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計(jì)劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天?
解
(1)這批蔬菜共有多少千克?5030=1500(千克)
(2)這批蔬菜可以吃多少天?1500(50+10)=25(天)
列成綜合算式5030(50+10)=150060=25(天)
答：這批蔬菜可以吃25天。
【含義】
已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題。
【數(shù)量關(guān)系】
大數(shù)=(和+差)2
小數(shù)=(和-差)2
【解題思路和方法】
簡單的題目可以直接套用公式;復(fù)雜的題目變通后再用公式。
例1
甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人?
解
甲班人數(shù)=(98+6)2=52(人)
乙班人數(shù)=(98-6)2=46(人)
答：甲班有52人，乙班有46人。
例2
長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。
解
長=(18+2)2=10(厘米)
寬=(18-2)2=8(厘米)
長方形的面積=108=80(平方厘米)
答：長方形的面積為80平方厘米。
例3
有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。
解
甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知
甲袋化肥重量=(22+2)2=12(千克)
丙袋化肥重量=(22-2)2=10(千克)
乙袋化肥重量=32-12=20(千克)
答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。
例4
甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐?
解
從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是(142+3)，甲與乙的和是97，因此甲車筐數(shù)=(97+142+3)2=64(筐)
乙車筐數(shù)=97-64=33(筐)
答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。
【含義】
已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍(或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾)，要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題。
【數(shù)量關(guān)系】
總和(幾倍+1)=較小的數(shù)
總和-較小的數(shù)=較大的數(shù)
較小的數(shù)幾倍=較大的數(shù)
【解題思路和方法】
簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。
例1
果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵?
解
(1)杏樹有多少棵?248(3+1)=62(棵)
(2)桃樹有多少棵?623=186(棵)
答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。
例2
東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數(shù)是西庫存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸?
解
(1)西庫存糧數(shù)=480(1.4+1)=200(噸)
(2)東庫存糧數(shù)=480-200=280(噸)
答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。
例3
甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍?
解
每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當(dāng)于每天從甲站開往乙站(28-24)輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時(shí)乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)(52+32)就相當(dāng)于(2+1)倍，
那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為
(52+32)(2+1)=28(輛)
所求天數(shù)為(52-28)(28-24)=6(天)
答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。
例4
甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少?
解
乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。
因?yàn)橐冶燃椎?倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍;
又因?yàn)楸燃椎?倍多6，所以丙數(shù)減去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍;
這時(shí)(170+4-6)就相當(dāng)于(1+2+3)倍。那么，
甲數(shù)=(170+4-6)(1+2+3)=28
乙數(shù)=282-4=52
丙數(shù)=283+6=90
答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52，丙數(shù)是90。
【含義】
已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍(或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾)，要求這兩個數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。
【數(shù)量關(guān)系】
兩個數(shù)的差(幾倍-1)=較小的數(shù)
較小的數(shù)幾倍=較大的數(shù)
【解題思路和方法】
簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。
例1
果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵?
解
(1)杏樹有多少棵?124(3-1)=62(棵)
(2)桃樹有多少棵?623=186(棵)
答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。
例2
爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲?
解
(1)兒子年齡=27(4-1)=9(歲)
(2)爸爸年齡=94=36(歲)
答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。
例3
商場改革經(jīng)營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元?
解
如果把上月盈利作為1倍量，則(30-12)萬元就相當(dāng)于上月盈利的(2-1)倍，因此
上月盈利=(30-12)(2-1)=18(萬元)
本月盈利=18+30=48(萬元)
答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。
例4
糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍?
解
由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差(138-94)。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，(138-94)就相當(dāng)于(3-1)倍，因此
剩下的小麥數(shù)量=(138-94)(3-1)=22(噸)
運(yùn)出的小麥數(shù)量=94-22=72(噸)
運(yùn)糧的天數(shù)=729=8(天)
答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。
【含義】
有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時(shí)先求出這個倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題。
【數(shù)量關(guān)系】
總量一個數(shù)量=倍數(shù)
另一個數(shù)量倍數(shù)=另一總量
【解題思路和方法】
先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。
例1
100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少?
解
(1)3700千克是100千克的多少倍?3700100=37(倍)
(2)可以榨油多少千克?4037=1480(千克)
列成綜合算式40(3700100)=1480(千克)
答：可以榨油1480千克。
例2
今年植樹節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹400棵，照這樣計(jì)算，全縣48000名師生共植樹多少棵?
解
(1)48000名是300名的多少倍?48000300=160(倍)
(2)共植樹多少棵?400160=64000(棵)
列成綜合算式400(48000300)=64000(棵)
答：全縣48000名師生共植樹64000棵。
例3
鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計(jì)算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元?全縣16000畝果園共收入多少元?
解
(1)800畝是4畝的幾倍?8004=200(倍)
(2)800畝收入多少元?11111200=2222200(元)
(3)16000畝是800畝的幾倍?16000800=20(倍)
(4)16000畝收入多少元?222220020=44444000(元)
答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。
【含義】
兩個運(yùn)動的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題。
【數(shù)量關(guān)系】
相遇時(shí)間=總路程(甲速+乙速)
總路程=(甲速+乙速)相遇時(shí)間
【解題思路和方法】
簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。
例1
南京到上海的水路長392千米，同時(shí)從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時(shí)行28千米，從上海開出的船每小時(shí)行21千米，經(jīng)過幾小時(shí)兩船相遇?
解
392(28+21)=8(小時(shí))
答：經(jīng)過8小時(shí)兩船相遇。
例2
小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時(shí)間?
解
第二次相遇可以理解為二人跑了兩圈。
因此總路程為4002
相遇時(shí)間=(4002)(5+3)=100(秒)
答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時(shí)間。
例3
甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。
解
兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說甲比乙多走的路程是(32)千米，因此，
相遇時(shí)間=(32)(15-13)=3(小時(shí))
兩地距離=(15+13)3=84(千米)
答：兩地距離是84千米。
【含義】
兩個運(yùn)動物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)(或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā))作同向運(yùn)動，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題。
【數(shù)量關(guān)系】
追及時(shí)間=追及路程(快速-慢速)
追及路程=(快速-慢速)追及時(shí)間
【解題思路和方法】
簡單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。
例1
好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬?
解
(1)劣馬先走12天能走多少千米?7512=900(千米)
(2)好馬幾天追上劣馬?900(120-75)=20(天)
列成綜合算式7512(120-75)=90045=20(天)
答：好馬20天能追上劣馬。
例2
小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
解
小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時(shí)小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，須知追及時(shí)間，即小明跑500米所用的時(shí)間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用秒，所以小亮的速度是
(500-200)
=300100=3(米)
答：小亮的速度是每秒3米。
例3
我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點(diǎn)開始從甲地以每小時(shí)10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時(shí)30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時(shí)可以追上敵人?
解
敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間的時(shí)差是(22-16)小時(shí)，這段時(shí)間敵人逃跑的路程是千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知
追及時(shí)間=(30-10)
=22020=11(小時(shí))
答：解放軍在11小時(shí)后可以追上敵人。
例4
一輛客車從甲站開往乙站，每小時(shí)行48千米;一輛貨車同時(shí)從乙站開往甲站，每小時(shí)行40千米，兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。
解
這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車(162)千米，客車追上貨車的時(shí)間就是前面所說的相遇時(shí)間，
這個時(shí)間為162(48-40)=4(小時(shí))
所以兩站間的距離為(48+40)4=352(千米)
列成綜合算式(48+40)
=884
=352(千米)
答：甲乙兩站的距離是352千米。
【含義】
按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題。
【數(shù)量關(guān)系】
線形植樹棵數(shù)=距離棵距+1
環(huán)形植樹棵數(shù)=距離棵距
方形植樹棵數(shù)=距離棵距-4
三角形植樹棵數(shù)=距離棵距-3
面積植樹棵數(shù)=面積(棵距行距)
【解題思路和方法】
先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。
例1
一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳?
解
1362+1=68+1=69(棵)
答：一共要栽69棵垂柳。
例2
一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹?
解
4004=100(棵)
答：一共能栽100棵白楊樹。
例3
一個正方形的運(yùn)動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈?
解
22048-4=110-4=106(個)
答：一共可以安裝106個照明燈。
例4
給一個面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚?
解
96(0.60.4)=960.24=400(塊)
答：至少需要400塊地板磚。
例5
一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈?
解
(1)橋的一邊有多少個電桿?50050+1=11(個)
(2)橋的兩邊有多少個電桿?112=22(個)
(3)大橋兩邊可安裝多少盞路燈?222=44(盞)
答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。
【含義】
這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長在發(fā)生變化。
【數(shù)量關(guān)系】
年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住年齡差不變這個特點(diǎn)。
【解題思路和方法】
可以利用差倍問題的解題思路和方法。
例1
爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍?明年呢?
解
355=7(倍)
(35+1)(5+1)=6(倍)
答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，
明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。
例2
母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍?
解
(1)母親比女兒的年齡大多少歲?37-7=30(歲)
(2)幾年后母親的年齡是女兒的4倍?30(4-1)-7=3(年)
列成綜合算式(37-7)(4-1)-7=3(年)
答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。
例3
甲對乙說：當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲。乙對甲說：當(dāng)我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少?
解
這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：
過去某一年 今年 將來某一年
甲 □歲 △歲 61歲
乙 4歲 □歲 △歲
表中兩個□表示同一個數(shù)，兩個△表示同一個數(shù)。
因?yàn)閮蓚€人的年齡差總相等：□-4=△-□=61-△，也就是4，□，△，61成等差數(shù)列，所以，61應(yīng)該比4大3個年齡差，
因此二人年齡差為(61-4)3=19(歲)
甲今年的歲數(shù)為△=61-19=42(歲)
乙今年的歲數(shù)為□=42-19=23(歲)
答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲。
【含義】
行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度;水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和;船只逆水航行的速度是船速與水速之差。
【數(shù)量關(guān)系】
(順?biāo)俣?逆水速度)2=船速
(順?biāo)俣?逆水速度)2=水速
順?biāo)?船速2-逆水速=逆水速+水速2
逆水速=船速2-順?biāo)?順?biāo)?水速2
【解題思路和方法】
大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。
例1
一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)?
解
由條件知，順?biāo)?船速+水速=3208，而水速為每小時(shí)15千米，所以，船速為每小時(shí)3208-15=25(千米)
船的逆水速為25-15=10(千米)
船逆水行這段路程的時(shí)間為32010=32(小時(shí))
答：這只船逆水行這段路程需用32小時(shí)。
例2
甲船逆水行360千米需18小時(shí)，返回原地需10小時(shí);乙船逆水行同樣一段距離需15小時(shí)，返回原地需多少時(shí)間?
解
由題意得甲船速+水速=36010=36
甲船速-水速=36018=20
可見(36-20)相當(dāng)于水速的2倍，
所以，水速為每小時(shí)(36-20)2=8(千米)
又因?yàn)?，乙船?水速=36015，
所以，乙船速為36015+8=32(千米)
乙船順?biāo)贋?2+8=40(千米)
所以，乙船順?biāo)叫?60千米需要
36040=9(小時(shí))
答：乙船返回原地需要9小時(shí)。
【含義】
這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時(shí)要注意列車車身的長度。
【數(shù)量關(guān)系】
火車過橋：過橋時(shí)間=(車長+橋長)車速
火車追及：追及時(shí)間=(甲車長+乙車長+距離)
(甲車速-乙車速)
火車相遇：相遇時(shí)間=(甲車長+乙車長+距離)
(甲車速+乙車速)
【解題思路和方法】
大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。
例1
一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米?
解
火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。
(1)火車3分鐘行多少米?9003=2700(米)
(2)這列火車長多少米?2700-2400=300(米)
列成綜合算式9003-2400=300(米)
答：這列火車長300米。
例2
一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時(shí)間，求大橋的長度是多少米?
解
火車過橋所用的時(shí)間是2分5秒=125秒，所走的路程是(8125)米，這段路程就是(200米+橋長)，所以，橋長為
8125-200=800(米)
答：大橋的長度是800米。
例3
一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時(shí)間?
解
從追上到追過，快車比慢車要多行(225+140)米，而快車比慢車每秒多行(22-17)米，因此，所求的時(shí)間為
(225+140)(22-17)=73(秒)
答：需要73秒。
例4
一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時(shí)間?
解
如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問題。
150(22+3)=6(秒)
答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。
【含義】
就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時(shí)鐘問題可與追及問題相類比。
【數(shù)量關(guān)系】
分針的速度是時(shí)針的12倍，
二者的速度差為11/12。
通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計(jì)算。
【解題思路和方法】
變通為追及問題后可以直接利用公式。
例1
從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘時(shí)針正好與分針重合?
解
鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走60格;時(shí)針每小時(shí)走5格，每分鐘走5/60=1/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走(1-1/12)=11/12格。4點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。所以
分針追上時(shí)針的時(shí)間為20(1-1/12)22(分)
答：再經(jīng)過22分鐘時(shí)針正好與分針重合。
例2
四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候成直角?
解
鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時(shí)候相差15格(包括分針在時(shí)針的前或后15格兩種情況)。四點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后(54)格，如果分針在時(shí)針后與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走(54-15)格，如果分針在時(shí)針前與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走(54+15)格。再根據(jù)1分鐘分針比時(shí)針多走(1-1/12)格就可以求出二針成直角的時(shí)間。
(54-15)(1-1/12)6(分)
(54+15)(1-1/12)38(分)
答：4點(diǎn)06分及4點(diǎn)38分時(shí)兩針成直角。
例3
六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合?
解
六點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后(56)格，分針要與時(shí)針重合，就得追上時(shí)針。這實(shí)際上是一個追及問題。
(56)(1-1/12)33(分)
答：6點(diǎn)33分的時(shí)候分針與時(shí)針重合。
【含義】
根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余(盈)，一次不足(虧)，或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題。
【數(shù)量關(guān)系】
一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：
參加分配總?cè)藬?shù)=(盈+虧)分配差
如果兩次都盈或都虧，則有：
參加分配總?cè)藬?shù)=(大盈-小盈)分配差
參加分配總?cè)藬?shù)=(大虧-小虧)分配差
【解題思路和方法】
大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。
例1
給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個;若每人分4個就少1個。問有多少小朋友?有多少個蘋果?
解
按照參加分配的總?cè)藬?shù)=(盈+虧)分配差的數(shù)量關(guān)系：
(1)有小朋友多少人?(11+1)(4-3)=12(人)
(2)有多少個蘋果?312+11=47(個)
答：有小朋友12人，有47個蘋果。
例2
修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天;如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米?
解
題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于參加分配的總?cè)藬?shù)，按照參加分配的總?cè)藬?shù)=(大虧-小虧)分配差的數(shù)量關(guān)系，可以得知
原定完成任務(wù)的天數(shù)為
(2608-3004)(300-260)=22(天)
這條路全長為300(22+4)=7800(米)
答：這條路全長7800米。
例3
組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人;如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車?多少人?
解
本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于參加分配的總?cè)藬?shù)，于是就有
(1)有多少車?(30-0)(45-40)=6(輛)
(2)有多少人?406+30=270(人)
答：有6輛車，有270人。
【含義】
工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出一項(xiàng)工程、一塊土地、一條水渠、一件工作等，在解題時(shí)，常常用單位1表示工作總量。
【數(shù)量關(guān)系】
解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作1，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)(它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾)，進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。
工作量=工作效率工作時(shí)間
工作時(shí)間=工作量工作效率
工作時(shí)間=總工作量(甲工作效率+乙工作效率)
【解題思路和方法】
變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。
例1
一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成?
解
題中的一項(xiàng)工程是工作總量，由于沒有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位1。由于甲隊(duì)獨(dú)做需10天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的1/10;乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項(xiàng)工程的1/15;兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的(1/10+1/15)。
由此可以列出算式：1(1/10+1/15)=11/6=6(天)
答：兩隊(duì)合做需要6天完成。
例2
一批零件，甲獨(dú)做6小時(shí)完成，乙獨(dú)做8小時(shí)完成?，F(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個?
解一
設(shè)總工作量為1，則甲每小時(shí)完成1/6，乙每小時(shí)完成1/8，甲比乙每小時(shí)多完成(1/6-1/8)，二人合做時(shí)每小時(shí)完成(1/6+1/8)。因?yàn)槎撕献鲂枰r(shí)，這個時(shí)間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以
(1)每小時(shí)甲比乙多做多少零件?
24=7(個)
(2)這批零件共有多少個?
7(1/6-1/8)=168(個)
答：這批零件共有168個。
解二
上面這道題還可以用另一種方法計(jì)算：
兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為1/6∶1/8=4∶3
由此可知，甲比乙多完成總工作量的4-3/4+3=1/7
所以，這批零件共有241/7=168(個)
例3
一件工作，甲獨(dú)做12小時(shí)完成，乙獨(dú)做10小時(shí)完成，丙獨(dú)做15小時(shí)完成?，F(xiàn)在甲先做2小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完成?
解
必須先求出各人每小時(shí)的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計(jì)算帶來方便，因此，我們設(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是
6012=56010=66015=4
因此余下的工作量由乙丙合做還需要
(60-52)(6+4)=5(小時(shí))
答：還需要5小時(shí)才能完成。
例4
一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池;當(dāng)打開2個進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池;現(xiàn)在要用2小時(shí)將水池注滿，至少要打開多少個進(jìn)水管?
解：
注(排)水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，水的流量就是工作量，單位時(shí)間內(nèi)水的流量就是工作效率。
要2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，即要使2小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量(一池水)。只要設(shè)某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。
我們設(shè)每個同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1，則4個進(jìn)水管5小時(shí)注水量為(145)，2個進(jìn)水管15小時(shí)注水量為(1215)，從而可知
每小時(shí)的排水量為(1215-145)(15-5)=1
即一個排水管與每個進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知
一池水的總工作量為145-15=15
又因?yàn)樵?小時(shí)內(nèi)，每個進(jìn)水管的注水量為12，
所以，2小時(shí)內(nèi)注滿一池水
至少需要多少個進(jìn)水管?(15+12)(12)
=8.59(個)
答：至少需要9個進(jìn)水管。
【含義】
兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定(即商一定)，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運(yùn)用。
兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運(yùn)用。
【數(shù)量關(guān)系】
判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。
【解題思路和方法】
解決這類問題的重要方法是：把分率(倍數(shù))轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。
正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。
例1
修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米?
解
由條件知，公路總長不變。
原已修長度∶總長度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12
現(xiàn)已修長度∶總長度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12
比較以上兩式可知，把總長度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于(4-3)份，從而知公路總長為300(4-3)12=3600(米)
答：這條公路總長3600米。
例2
張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計(jì)算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題?
解
做題效率一定，做題數(shù)量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系
設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題則有28∶4=91∶X
28X=914X=91428X=13
答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。
例3
孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完?
解
書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系
設(shè)X天可以看完，就有24∶36=X∶15
36X=2415X=10
答：10天就可以看完。
【含義】
所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)。
【數(shù)量關(guān)系】
從條件看，已知總量和幾個部分量的比;從問題看，求幾個部分量各是多少?？偡輸?shù)=比的前后項(xiàng)之和
【解題思路和方法】
先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾(以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分別作分子)，再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算方法，分別求出各部分量的值。
例1
學(xué)校把植樹560棵的任務(wù)按人數(shù)分配給三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵?
解
總份數(shù)為47+48+45=140
一班植樹56047/140=188(棵)
二班植樹56048/140=192(棵)
三班植樹56045/140=180(棵)
答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。
例2
用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3∶4∶5。三條邊的長各是多少厘米?
解
3+4+5=12603/12=15(厘米)
604/12=20(厘米)
605/12=25(厘米)
答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。
例3
從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。
解
如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到
1/2∶1/3∶1/9=9∶6∶2
9+6+2=17179/17=9
176/17=6172/17=2
答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。
例4
某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為8∶12∶21，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人?
解
80(12-8)(8+12+21)=820(人)
答：三個車間一共820人。
【含義】
百分?jǐn)?shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常?？梢酝ǚ?、約分，而百分?jǐn)?shù)則無需;分?jǐn)?shù)既可以表示率，也可以表示量，而百分?jǐn)?shù)只能表示率;分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù);百分?jǐn)?shù)有一個專門的記號%。
在實(shí)際中和常用到百分點(diǎn)這個概念，一個百分點(diǎn)就是1%，兩個百分點(diǎn)就是2%。
【數(shù)量關(guān)系】
掌握百分?jǐn)?shù)、標(biāo)準(zhǔn)量比較量三者之間的數(shù)量關(guān)系：
百分?jǐn)?shù)=比較量標(biāo)準(zhǔn)量
標(biāo)準(zhǔn)量=比較量百分?jǐn)?shù)
【解題思路和方法】
一般有三種基本類型：
(1)求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾;
(2)已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少;
(3)已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。
例1
倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾?
解
(1)用去的占720(720+6480)=10%
(2)剩下的占6480(720+6480)=90%
答：用去了10%，剩下90%。
例2
紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾?
解
本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量所以(525-420)525=0.2=20%
或者1-420525=0.2=20%
答：男職工人數(shù)比女職工少20%。
例3
紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾?
解
本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此
(525-420)420=0.25=25%
或者525420-1=0.25=25%
答：女職工人數(shù)比男職工多25%。
例4
紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾?
解
(1)男職工占420(420+525)=0.444=44.4%
(2)女職工占525(420+525)=0.556=55.6%
答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。
【含義】
牛吃草問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫牛頓問題。這類問題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長這個因素。
【數(shù)量關(guān)系】
草總量=原有草量+草每天生長量天數(shù)
【解題思路和方法】
解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。
例1
一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完?
解
草是均勻生長的，所以，草總量=原有草量+草每天生長量天數(shù)。求多少頭牛5天可以把草吃完，就是說5天內(nèi)的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛?設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：
(1)求草每天的生長量
因?yàn)椋环矫?0天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即(11020);另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長量，所以
11020=原有草量+20天內(nèi)生長量
同理11510=原有草量+10天內(nèi)生長量
由此可知(20-10)天內(nèi)草的生長量為
11020-11510=50
因此，草每天的生長量為50(20-10)=5
(2)求原有草量
原有草量=10天內(nèi)總草量-10內(nèi)生長量=11510-510=100
(3)求5天內(nèi)草總量
5天內(nèi)草總量=原有草量+5天內(nèi)生長量=100+55=125
(4)求多少頭牛5天吃完草
因?yàn)槊款^牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。
因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)1255=25(頭)
答：需要5頭牛5天可以把草吃完。
例2
一只船有一個漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個人淘水，3小時(shí)可以淘完;如果只有5人淘
水，要10小時(shí)才能淘完。求17人幾小時(shí)可以淘完?
解
這是一道變相的牛吃草問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)(相當(dāng)于牛數(shù))，求時(shí)間。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1，按以下步驟計(jì)算：
(1)求每小時(shí)進(jìn)水量
因?yàn)椋?小時(shí)內(nèi)的總水量=1123=原有水量+3小時(shí)進(jìn)水量
10小時(shí)內(nèi)的總水量=1510=原有水量+10小時(shí)進(jìn)水量
所以，(10-3)小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量為1510-1123=14
因此，每小時(shí)的進(jìn)水量為14(10-3)=2
(2)求淘水前原有水量
原有水量=1123-3小時(shí)進(jìn)水量=36-23=30
(3)求17人幾小時(shí)淘完
17人每小時(shí)淘水量為17，因?yàn)槊啃r(shí)漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小時(shí)減少的水量為(17-2)，所以17人淘完水的時(shí)間是
30(17-2)=2(小時(shí))
答：17人2小時(shí)可以淘完水。
【含義】
這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。
【數(shù)量關(guān)系】
第一雞兔同籠問題：
假設(shè)全都是雞，則有
兔數(shù)=(實(shí)際腳數(shù)-2雞兔總數(shù))(4-2)
假設(shè)全都是兔，則有
雞數(shù)=(4雞兔總數(shù)-實(shí)際腳數(shù))(4-2)
第二雞兔同籠問題：
假設(shè)全都是雞，則有
兔數(shù)=(2雞兔總數(shù)-雞與兔腳之差)(4+2)
假設(shè)全都是兔，則有
雞數(shù)=(4雞兔總數(shù)+雞與兔腳之差)(4+2)
【解題思路和方法】
解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞;如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。
例1
長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞?
解
假設(shè)35只全為兔，則
雞數(shù)=(435-94)(4-2)=23(只)
兔數(shù)=35-23=12(只)
也可以先假設(shè)35只全為雞，則
兔數(shù)=(94-235)(4-2)=12(只)
雞數(shù)=35-12=23(只)
答：有雞23只，有兔12只。
例2
2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝?
解
此題實(shí)際上是改頭換面的雞兔同籠問題。每畝菠菜施肥(12)千克與每只雞有兩個腳相對應(yīng)，每畝白菜施肥(35)千克與每只兔有4只腳相對應(yīng)，16畝與雞兔總數(shù)相對應(yīng)，9千克與雞兔總腳數(shù)相對應(yīng)。假設(shè)16畝全都是菠菜，則有
白菜畝數(shù)=(9-1216)(35-12)=10(畝)
答：白菜地有10畝。
例3
李老師用69元給學(xué)校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本3.20元，日記本每本0.70元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本?
解
此題可以變通為雞兔同籠問題。假設(shè)45本全都是日記本，則有
作業(yè)本數(shù)=(69-0.7045)(3.20-0.70)=15(本)
日記本數(shù)=45-15=30(本)
答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。
例4
(第二雞兔同籠問題)雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只?
解
假設(shè)100只全都是雞，則有
兔數(shù)=(2100-80)(4+2)=20(只)
雞數(shù)=100-20=80(只)
答：有雞80只，有兔20只。
例5
有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人?
解
假設(shè)全為大和尚，則共吃饃(3100)個，比實(shí)際多吃(3100-100)個，這是因?yàn)榘研『蜕幸菜愠闪舜蠛蜕?，因此我們在保證和尚總數(shù)100不變的情況下，以小換大，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃(3-1/3)個。因此，共有小和尚
(3100-100)(3-1/3)=75(人)
共有大和尚100-75=25(人)
答：共有大和尚25人，有小和尚75人。
【含義】
將若干人或物依一定條件排成正方形(簡稱方陣)，根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題。
【數(shù)量關(guān)系】
(1)方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：
四周人數(shù)=(每邊人數(shù)-1)4
每邊人數(shù)=四周人數(shù)4+1
(2)方陣總?cè)藬?shù)的求法：
實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)=每邊人數(shù)每邊人數(shù)
空心方陣：總?cè)藬?shù)=(外邊人數(shù))?-(內(nèi)邊人數(shù))?
內(nèi)邊人數(shù)=外邊人數(shù)-層數(shù)2
(3)若將空心方陣分成四個相等的矩形計(jì)算，則：
總?cè)藬?shù)=(每邊人數(shù)-層數(shù))層數(shù)4
【解題思路和方法】
方陣問題有實(shí)心與空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘;空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。
例1
在育才小學(xué)的運(yùn)動會上，進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人?
解
2222=484(人)
答：參加體操表演的同學(xué)一共有484人。
例2
有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數(shù)。
解
10-(10-32)?
=84(人)
答：全方陣84人。
例3
有一隊(duì)學(xué)生，排成一個中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊(duì)學(xué)生共多少人?
解
(1)中空方陣外層每邊人數(shù)=524+1=14(人)
(2)中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)=284-1=6(人)
(3)中空方陣的總?cè)藬?shù)=1414-66=160(人)
答：這隊(duì)學(xué)生共160人。
例4
一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個?
解
(1)縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)=4+9=13(只)
(2)縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)=(13+1)2=7(只)
(3)原有棋子數(shù)=77-9=40(只)
答：棋子有40只。
例5
有一個三角形樹林，頂點(diǎn)上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹?
解
第一種方法：1+2+3+4+5=15(棵)
第二種方法：(5+1)52=15(棵)
答：這個三角形樹林一共有15棵樹。
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