目前，盡管各類教師培訓轟轟烈烈，但作為一線教師參加有針對性的教學業務進修仍十分有限.很多數學教師的教學研究也只停留在數學解題方面，不能全方位地從教師、學生、教材及環境諸多角度加以把握；教師缺少學科教學知識、教育心理學及課堂教學藝術方面的修養.但是，教師如果通過觀摩別人的優秀教學案例，把自已的教學與優秀的教學案例進行對比，便可以快速地在他人的經驗中得以高效的學習和提升.筆者愿意向廣大一線數學教師推薦一本優秀的數學教學案例研究著作——《基于課程標準的數學教學研究》，本書是浙江師范大學教授張維忠博士在10年的課改中，深入學校，深入課堂，與教師一起探索、研究課堂教學，積數年的成果匯成的新作.以教學素材案例、教學設計案例、課堂教學案例與聽課說課磨課為邏輯線索，融理論闡釋、情境描述、教學點評于一體，在體例與內容上有別于他者，走出了以往純粹某一方面研究的“藩籬”.以下是筆者結合《基于課程標準的數學教學研究》的研讀得到的一些思考.

1什么是數學教學案例

數學教學案例是從數學教育教學實踐活動中總結出來的實例，在被描述的具體情境中包含一個或者多個引人入勝的問題，同時也包含有解決這些問題的方法和技巧.成文的案例有具體情境的介紹和描述，也有一定的理論思考和對實際活動的反思.同時，一個好的案例，就是一個生動、真實的故事加上精彩的點評.精彩的案例在專家點評下更加突顯案例的典型性和示范作用，蘊含理論應用于實踐的價值.當然，作為一個能夠提供借鑒的好的教學案例，既可以是教學活動中的成功事例，也可以是教學活動中遭遇過挫折的案例，前者可以提供經驗，后者可以提供教訓，都同樣具有借鑒意義.

案例的真實性是案例的生命線，《基于課程標準的數學教學研究》中的案例《數列的遞推公式》，真實地再現了案例作者經歷的同一課題講授兩次的教學嬗變過程.本課是一節基于數學文化的探究課，但由于作者第一節課的教學引入部分為知識直接性復習引入，略顯突兀，導致多數學生不能很好完成緊接的探究任務.而在第二節課經過教學設計的改進，合理設計探究梯度，先鋪墊由遞推公式構造等比數列的方法，將原來的探究部分恰當后置，且由原來直接探究圖形中（謝賓斯基三角形）蘊含的數列通項公式，改為利用幾何圖形驗證數列通項公式的推導過程，大大提高了學生的數學探究的參與度，充分體現了數學課堂教學的循序漸進性以及利用數學文化素材服務教學的合理性.

2教學案例的形成

為了研究和撰寫教學案例，首先對教學案例的形成要有個明確的了解.教學案例一般以條例式加以呈現，即把案例涉及到的材料按背景、問題、解決方法、分析與討論等部分排列起來.但從案例的形成過程來看，教學案例可以在教學設計和教學實錄基礎上進行加工和定型.這樣，我們必須先了解教學案例同一般的教案、教學設計和教學實錄的關系.

2.1教案、教學設計與教學案例的形成

教案和教學設計都是在教學之前所進行的預設性的教學安排和實施方案，而教學案例則是對已經發生的教學過程的反映.教學設計的價值體現在對具體的和特定的教學過程的指導和定向之上，而教學案例則是經歷具體的教學過程中的問題解決概括出特殊的教學思想和教學原理.一般來說，教案和教學設計只有設想的措施而暫時沒有實施的結果，教學案例則不僅要說明教學的思路、描述教學的過程，還要交代學生學習的結果.當然，在課堂教學實施之后，教師可以在有創意的教學設計的基礎上重新補充師生互動的主要情況以及課堂的生成性資源的利用、問題解決的真實過程和教學結果、教師對教學的自我評價和反思以及教研共同體對所授課的評議或專家的精彩點評，便初步形成具有一定參考價值的教學設計案例.

2.2教學實錄與教學案例的形成

教學案例與教學實錄都要對教學情景進行描述，但教學實錄是有聞必錄，而教學案例則是有所選擇的.教學案例是根據目的和功能選擇內容，而且要突出主要問題或主要任務以及主要的教學活動步驟，教學之后必須有作者的反思即對相關課堂教學的價值判斷或理性思考.教學實錄通常只記錄教學的過程而不介紹教學的效果，但如果教學實錄具有典型性，即具備特殊情境和值得探討的問題，而且經過分析和反思能引起討論和進一步研究，從而實現教學理念和教學實踐的完美結合，則形成了教學實錄案例.

《基于課程標準的數學教學研究》從中學代數、幾何、三角與概率統計四大塊數學內容選取了22個研究主題，其基本涵蓋了初中與高中數學的主要部分，著眼于新授課、復習課等不同課型，側重于數學探究、數學建模、數學文化與數學史等不同視角，關注學生的數學知識建構，開發了“矩形”等10個數學教學設計典型案例，研制了“數列的遞推公式”等12個數學課堂教學實錄典型案例，并給出其中一些案例的說課與磨課過程，十分方便讀者探究學習.

3教學案例的分析與點評

由上可知，分析與點評是教學案例最為重要的組成部分，也是一線教師在案例研究中急需援助的環節，《基于課程標準的數學教學研究》針對現場的教學情況和教師的教學反思，從宏觀上對每篇案例作系統的分析，如整體把握案例的基本架構、總結案例的教學模式、凸顯案例的教學理念等，微觀層面上，從案例中截取一個個典型的教學片段或提取出富有價值的教學問題，挖掘其深層的思想理念、概括其豐富的教學含義.點評的重點突出、體現知行合一的案例教學理念，富有啟發價值.最具特色的是作者提供的數學教學素材案例，如非洲文化中的勾股定理、雕塑與數學、大自然的數學情趣、音樂與數學、黃金比例與斐波納契數列等，均為張維忠教授帶領的研究團隊將數學文化理論運用于教學實踐的成果，是作者在數學文化領域的科研與中學數學教學的完美結合.作者在分析點評中強調“數學文化的精髓依附在數學知識發生、發展的過程中，理解數學文化內涵主要是在學習過程中，尤其在解決問題的過程中.”這些案例分析將有助于數學教師真正地認同數學文化的內涵，為一線教師提供了可供操作的教學范例，其服務教學的意義與價值遠非純理論研究所能匹敵.

4教學案例研究作為校本培訓模式

案例研究為校本培訓模式拓展了思路，人人參與的案例研究體現了以教師發展為本的思想，建議學校培訓構建“以案研教，以研代培”的校本培訓模式.教學案例集中反映了教師在教學活動中遇到的問題、矛盾、困惑，以及由此產生的想法、思路、對策等，如果對這些問題和想法展開交流討論，對教師提高教學問題分析能力和教學業務水平是非常有益的.學校和教師可以根據課程改革的實際情況，確定一定階段內的討論主題，圍繞某個主題或專題收集材料、撰寫案例、交流研討，同時進行理論學習和實踐反思.反思是在記敘基礎上的議論，可以進一步揭示事件的意義和價值，可以從社會學、教育學、心理學、學習理論等不同的理論角度切入，揭示教學成功的科學規律或失敗的具體原因，使教研活動更具有針對性和實效性.《基于課程標準的數學教學研究》提供的大多數案例都來自作者親自參與的重要數學教學實踐活動，如教育部國培計劃、浙江省“百人千場”送教下鄉活動、浙江省“領雁”（名師培訓）工程、校地結合數學名師培訓以及曾與浙江省省內多所不同類型的中學開展的數學教育橫向聯合研究等.

5數學教學案例的開發

通讀本書提供的教學案例，可以概括出數學教學案例的一些新的取向，作為校本教研中教學案例研究與開發的參考.首先，要關注數學文化在課堂教學中的應用，通過聯系現實生活中的應用實例，體現數學在實踐中的巨大作用，通過深層次的數學發展的歷史、文化背景的展示，體現數學科學與自然、歷史、文化的關聯；通過數學與音樂、繪畫、建筑的關系及數、式、形的美妙的內在關聯展示數學美，同時“利用數學名題”、“利用科學事件”、“利用數學故事”將數學文化在課堂中加以滲透，培養學生的數學素養，樹立科學主義與人文主義相融合的數學理念.

其次，應堅持課堂教學的對比研究，例如可以采用同課同構方式——對同一內容、同一課型的不同案例進行比較研究；也可以考慮同課異構方式——對同一內容，不同授課模式的不同案例進行比較研究，如由多位教師采用不同方式設計某一小環節案例進行研究；也可以針對不同的教學環境，教學背景進行同一內容教學的研究；甚至可以對比國外的教學案例，對本地教學從數學與信息技術整合、教學模式的轉變、課堂上的數學交流以及運用數學實驗促進學生認知等方面加以嘗試創新，不斷開發富有價值的新型教學案例.

最后，可以按概念教學、定理法則教學、數學知識應用教學、專題教學、綜合實踐活動等課型對教學案例進行歸類，以便深入探究學生對不同類型的數學內容的認知規律.現在做的比較多的教學案例是文本案例，建議有條件的可做成視頻案例.有條件的學校可以將某個比較典型的課堂教學實例拍攝下來，圍繞某個主題，選擇其中的一個或幾個活動片段，請專家做出精彩的點評，制成光盤，做成視頻形式的教學案例.還可以多渠道開發案例中的學習素材，如各種教具、音像、圖片、數學實驗記錄、自然界及人類生活中的數學現象等.

作者簡介高定照，1969年4月生，教育碩士（數學），現為福建省福鼎民族中學高級教師.

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